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Im Nullpunkt diffbar!

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Hermine
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 20:21:   Beitrag drucken

Die Funktion f:R->R sei stetig und diffbar in R{0} , wobei c:= lim f'(x) existiert. Man ziege, dass f im Nullpunkt diffbar ist und dass f'(0)=c

Vielleicht hat ja irgendjemand eine Idee wie man das am geschicktesten löseb könnte.
Für alle Hinweise und Verweise auf irgendwelche Bücher wäre ich dankbar
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Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 15:05:   Beitrag drucken

Verbesserung:
Es muß heißen
R{0}
also R ohne 0
und bei dem Limes geht x gegen 0
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Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 16:34:   Beitrag drucken

Wieso wird dieser Beitrag nicht nach oben geschoben, wenn ich was reinschreib?
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 23:34:   Beitrag drucken

Hi Hermine und Sascha!
Achtung:

Es ist nicht so einfach hier in Zahlreich R\{0} zu schreiben.
Wenn man nämlich einfach
R\{0}
eingibt, dann macht der Computer automatisch
R{0}
draus, weil er "\{" als Formatierungcode auffasst.
Umgehen lässt sich das, indem man
R\\{0}
schreibt.

Und zu dem Problem ganz oben:
Wenn man die L'Hospital-Regel verwenden darf, ist es ganz einfach:
Wir beginnen mit der gewöhnlichen Definition der Ableitung an der Stelle a:
f'(a)=lim_h->0 (f(a+h)-f(a))/h
An der Stelle 0:
f'(0)=lim_h->0 (f(0+h)-f(0))/h
=lim_h->0 (f(h)-f(0))/h
Da f stetig auf IR sein soll, ist f auch stetig an der Stelle 0, d.h. f(h) strebt gegen f(0) wenn h gegen 0 strebt.
=> Zähler und Nenner streben beide gegen 0.
Hieraus folgt mit L'Hospital, dass dieser Grenzwert identisch ist mit folgendem, vorausgesetzt, dieser existiert:
=lim_h->0 (f'(h))/1
=lim_h->0 f'(h) = c nach Voraussetzung in Aufgabenstellung.
Also ist f'(0) = c
q.e.d.

Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine

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