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Klemens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 18:38: | 
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Hallo!
Suche Formel für Schwerpunkt vom Kegelstumpf (Ys)
Ich gehe von einen "graden" Stumpf aus (Xs = 0), der Bezugspunkt soll der Mittelpunkt der unteren Grundfläche sein. Radius unten r1, Radius oben r2, Höhe h.
Danke,
Klemens. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 08:37: |
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Hi Klemens,
Zu Anfang führe ich eine kleine Modifikation in den Bezeichnungen
aus:
Kegelstumpf als Rotationskörper(homogen), Rotation um die z-Achse
Grundkreisradius R, Deckkreisradius r ,
Höhe h.
In der (x,z)-Ebene sind die Punkte A und B gegeben:
A: x = R , z = 0 ; B : x = r , z = h.
Die Strecke AB wird als Meridian verwendet und erzeugt
bei der Rotation um die z-Achse den
Rotationskegelstumpf, dessen Schwerpunkt S aus Symmetriegründen
auf der z-Achse liegt.
Gesucht wird die z-Koordinate zS von S;
Resultat:
zS = h /4 * (R^2 + 2R*r+ 3*r^2) / (R^2 + R*r + r^2)
Grenzfälle:
Für r = 0 (Kegel) gilt zS = h / 4 ( o.k. )
Für r = R (Zylinder) gilt zS = h / 2 ( o.k.)
Herleitung
Ansatz für die Gleichung der Geraden g = AB: z = mx + q
mit m = - h / ( R - r )
g geht durch A(R/0) , daher q = h*R / (R - r ) , somit hat g die
Gleichung:
z = h /(R-r) * ( R - x ) , nach x aufgelöst:
x = R - (R-r)/ h * z .................................................................(I)
Für die z-Koordinate zS des Schwerpunktes des homogenen Kegelstumpfkörpers gilt:
V*zS = Dreifachintegral [z * dx * dy * dz)] , wobei V das Volumen
des Stumpfes darstellt: V = Pi * h / 3* ( R ^ 2 + R* r + r ^ 2 ).
Wegen der Rotationssymmetrie können wir das Integral als
ein einfaches Integral ansetzen:
V*zS = int[ z * Pi * x ^ 2 * dz] ,untere Grenze z = null,
obere Grenze z = h.
Wir setzen x aus der Geradengleichung (I) ein:
V*zS = Pi*int [ z * {R^2 -2*R*(R-r)/h * z + (R-r)^2/h^2 * z ^ 2}*dz]
in den genannten Grenzen.
Die Auswertung des Integrals (keine besonderen Probleme) gibt:
V* zS = Pi*h^2 / 12 * {6 R^2 - 8 R ( R - r ) +3 (R - r )^2} =
..........= Pi * h^2 / 12 * {R^2 + 2 R r + 3 R^2},
woraus das oben angegebene Resultat entspringt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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