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Sin- coshyperbolicus & Additionstheo...

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Daniel
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 12:33:   Beitrag drucken

Wie beweist man, dass

sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)
cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)

läuft das analog zum "normlen" sin /cos Beweiß?
Also ich bekommst nihct ganz gebacken!

danke
Daniel
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Frank (Norg)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 15:36:   Beitrag drucken

Hallo.
Erstmal die Definitionen:
cosh(x)=cos(ix)=1/2*(exp(x)+exp(-x))
sinh(x)=i*sin(ix)=1/2*(exp(x)-exp(-x))

Durch einsetzen dieser Def. müßte sich das Obige ergeben. (Weil ja exp(x+y)=exp(x)*exp(y))

MfG Frank.
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 22:48:   Beitrag drucken

Hallo Frank

Die linken und rechten Seiten Deiner Gleichungen sind natürlich richtig,
aber ich habe noch nie die Ausdrücke cos(ix) und sin(ix) gesehen. Wie sollen
sie definiert sein?

viele Grüße
SpockGeiger
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Frank (Norg)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 09:23:   Beitrag drucken

Nun, mit i=Ö-1 ist doch
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x).

Weil für jede kompexe Zahl z (mit z* als konjugiert Komlexes)
z+z*=2*Re(z) und z-z*=2i*Im(z) gilt,
gilt also mit z=exp(i*x), also z*=exp(-ix):
(z+z*)/2=cos(x) und (z-z*)/2=i*sin(x).

Man kann aber auch exp(-x) auch schreiben als exp(i*ix), also gilt:

cos(ix)=(exp(x)+exp(-x))/2=:cosh(x)
i*sin(ix)=(exp(x)-exp(-x))/2=:sinh(x)

Nochmal zu Daniel:
Natürlich geht das auch mit den normalen cos/sin-Additionstheoremen,
da diese ja auch im Komplexen funktionieren:

cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny.

Setze einfach x=i*x' aund y=i*y', dann hast du:

cos(ix'+iy')=cosix'*cosiy'-sinix'*siniy'.

Da -1=i2 cos(iz)=cosh(z):

cosh(x'+y')=coshx'*coshy'+i*sinix'*i*siniy'

cosh(x'+y')=coshx'*coshy'+sinhx'*sinhy'.

Mit dem sinh geht das ähnlich, bloß auf beiden Seiten mit i multiplizieren.

MfG Frank.

PS.: Auch die einfachen sin/cos Additionstheoreme
lassen sich über exp(i*x) herleiten.
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Daniel
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Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:48:   Beitrag drucken

super ! schön Dank ! denke ich habs begriffen :-)

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