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Daniel
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 12:33: |
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Wie beweist man, dass sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y) cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y) läuft das analog zum "normlen" sin /cos Beweiß? Also ich bekommst nihct ganz gebacken! danke Daniel |
Frank (Norg)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 15:36: |
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Hallo. Erstmal die Definitionen: cosh(x)=cos(ix)=1/2*(exp(x)+exp(-x)) sinh(x)=i*sin(ix)=1/2*(exp(x)-exp(-x)) Durch einsetzen dieser Def. müßte sich das Obige ergeben. (Weil ja exp(x+y)=exp(x)*exp(y)) MfG Frank. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 22:48: |
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Hallo Frank Die linken und rechten Seiten Deiner Gleichungen sind natürlich richtig, aber ich habe noch nie die Ausdrücke cos(ix) und sin(ix) gesehen. Wie sollen sie definiert sein? viele Grüße SpockGeiger |
Frank (Norg)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 09:23: |
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Nun, mit i=Ö-1 ist doch exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x). Weil für jede kompexe Zahl z (mit z* als konjugiert Komlexes) z+z*=2*Re(z) und z-z*=2i*Im(z) gilt, gilt also mit z=exp(i*x), also z*=exp(-ix): (z+z*)/2=cos(x) und (z-z*)/2=i*sin(x). Man kann aber auch exp(-x) auch schreiben als exp(i*ix), also gilt: cos(ix)=(exp(x)+exp(-x))/2=:cosh(x) i*sin(ix)=(exp(x)-exp(-x))/2=:sinh(x) Nochmal zu Daniel: Natürlich geht das auch mit den normalen cos/sin-Additionstheoremen, da diese ja auch im Komplexen funktionieren: cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny. Setze einfach x=i*x' aund y=i*y', dann hast du: cos(ix'+iy')=cosix'*cosiy'-sinix'*siniy'. Da -1=i2 cos(iz)=cosh(z): cosh(x'+y')=coshx'*coshy'+i*sinix'*i*siniy' cosh(x'+y')=coshx'*coshy'+sinhx'*sinhy'. Mit dem sinh geht das ähnlich, bloß auf beiden Seiten mit i multiplizieren. MfG Frank. PS.: Auch die einfachen sin/cos Additionstheoreme lassen sich über exp(i*x) herleiten. |
Daniel
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:48: |
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super ! schön Dank ! denke ich habs begriffen :-) |
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