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Integral

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HP
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 15:19:   Beitrag drucken

Hi!

Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen....

f:R => R sei eine stetige Funktion und für alle
a <= b gelte, dass das Integral von a bis b
f(x) dx = 0
Wie zeigt man dann, dass f die Nullfunktion sein muss.

Danke für eure Hilfe,
HP
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 16:22:   Beitrag drucken

Hallo HP,

???????????
Probier die Aussage doch mal mit ò0 2pi sin(x)dx
==================
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Stefan (Stefan26)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 19:54:   Beitrag drucken

Hallo Fern,

das dachte ich zunächst auch. Aber òa b f(x) dx = 0 soll für alle a <= b gelten.
Anschaulich ist das klar, ein Beweis fält mir aber nicht ein.
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 09:04:   Beitrag drucken

Hallo allerseits,
Stefan, du hast Recht: ich habe die Aufgabe schlecht gelesen.

Den Beweis kann ich auch nicht erbringen, er hängt aber sicherlich mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung zusammen.
Gruß, Fern
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 13:25:   Beitrag drucken

Hi Stefan, Hi Fern ,

Die Vermutung von Fern, dass der Mittelwertsatz der
Integralrechnung für den Beweis dieses Satzes zu
gebrauchen wäre, ist wohl angebracht.

Ich versuche es mit der folgenden Form des
Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung :

Ein bestimmtes Integral ist eine stetige und
differenzierbare Funktion der oberen Grenze
im ganzen Stetigkeitsintervall des Integranden.
Die Ableitung eines bestimmten Integrals nach
der oberen Grenze ist gleich dem Wert des
Integranden, genommen an der oberen Grenze

Wir zeigen nun:
Gilt für die im abgeschlossenen Intervall [a,b]
stetige Funktion f (x) für alle x aus diesem Intervall,
dass das bestimmte Integral
int [f(t) * dt] , unterer Grenze a und oberer Grenze x,
null ist, so ist f(x ) die Nullfunktion in [a,b].

Skizze eines Beweises
Für die Integralfunktion
F(x) = int [f(t) * dt ], untere Grenze a , obere Grenze x
gilt nach dem obigen Satz:
Ableitung F' (x) = f(x) = 0 für alle x. aus [a,b].

N.B. die untere Grenze a des Integrals ist konstant;
es ist nicht schwierig, den Beweis so zu modifizieren,
dass er für die von Stefan formulierte Aussage passt.

Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Stefan (Stefan26)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 00:51:   Beitrag drucken

Hallo,

ein Freund zeigte mir folgenden eleganten Widerspruchsbeweis, der nur die Stetigkeit von f und eine ganz einfache Eigenschaft des Integrals benutzt.

Sei f wie in der Voraussetzung. Nun nehmen wir an, das f nicht Nullfunktion. Also gibt es ein t aus [a,b] mit f(t)>0 (ohne Einschr.)
Da f stetig, gibt es ein d>0 : f(t)>0 in [t-d,t+d].
Nun gilt offenbar int[t-d,t+d] f(t) dt > 0, was nach Voraussetzung nicht sein kann.

Schade, das wir drei da nicht selbst drauf gekommen sind.

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