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HP
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 15:19: |
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Hi! Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen.... f:R => R sei eine stetige Funktion und für alle a <= b gelte, dass das Integral von a bis b f(x) dx = 0 Wie zeigt man dann, dass f die Nullfunktion sein muss. Danke für eure Hilfe, HP |
Fern
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 16:22: |
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Hallo HP, ??????????? Probier die Aussage doch mal mit ò0 2pi sin(x)dx ================== |
Stefan (Stefan26)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 19:54: |
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Hallo Fern, das dachte ich zunächst auch. Aber òa b f(x) dx = 0 soll für alle a <= b gelten. Anschaulich ist das klar, ein Beweis fält mir aber nicht ein. |
Fern
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 09:04: |
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Hallo allerseits, Stefan, du hast Recht: ich habe die Aufgabe schlecht gelesen. Den Beweis kann ich auch nicht erbringen, er hängt aber sicherlich mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung zusammen. Gruß, Fern |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 13:25: |
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Hi Stefan, Hi Fern , Die Vermutung von Fern, dass der Mittelwertsatz der Integralrechnung für den Beweis dieses Satzes zu gebrauchen wäre, ist wohl angebracht. Ich versuche es mit der folgenden Form des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung : Ein bestimmtes Integral ist eine stetige und differenzierbare Funktion der oberen Grenze im ganzen Stetigkeitsintervall des Integranden. Die Ableitung eines bestimmten Integrals nach der oberen Grenze ist gleich dem Wert des Integranden, genommen an der oberen Grenze Wir zeigen nun: Gilt für die im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion f (x) für alle x aus diesem Intervall, dass das bestimmte Integral int [f(t) * dt] , unterer Grenze a und oberer Grenze x, null ist, so ist f(x ) die Nullfunktion in [a,b]. Skizze eines Beweises Für die Integralfunktion F(x) = int [f(t) * dt ], untere Grenze a , obere Grenze x gilt nach dem obigen Satz: Ableitung F' (x) = f(x) = 0 für alle x. aus [a,b]. N.B. die untere Grenze a des Integrals ist konstant; es ist nicht schwierig, den Beweis so zu modifizieren, dass er für die von Stefan formulierte Aussage passt. Gruss H.R.Moser,megamath. |
Stefan (Stefan26)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 00:51: |
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Hallo, ein Freund zeigte mir folgenden eleganten Widerspruchsbeweis, der nur die Stetigkeit von f und eine ganz einfache Eigenschaft des Integrals benutzt. Sei f wie in der Voraussetzung. Nun nehmen wir an, das f nicht Nullfunktion. Also gibt es ein t aus [a,b] mit f(t)>0 (ohne Einschr.) Da f stetig, gibt es ein d>0 : f(t)>0 in [t-d,t+d]. Nun gilt offenbar int[t-d,t+d] f(t) dt > 0, was nach Voraussetzung nicht sein kann. Schade, das wir drei da nicht selbst drauf gekommen sind. |
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