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kristin (Krissi7)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 21:24: | 
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Brauch nochmal hilfe. Bitte, ich krieg`s einfach nicht gebacken. Aufgabe:
Ein Fass hat ein parabelförmig gebogenes Daubenprofiel. Der Mathematiker Kepler gab die Formel für das Volumen eines solchen Fass`s an. V=h/15*pie*(8R zum quadrat+4Rr+3r zum quadrat).Führen Sie den Nachweis.
2.) Leiten Sie aus der Fassformel die Formel für das Zylindervolumen ab. Danke schon mal!!!!!!!
Werd ich Euch nie vergessen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 15:36: |
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Hi Kristin,
Jetzt soll die gewichtige Fassberechnung nach Kepler
in Angriff genommen werden
Die Daten sind
Die Höhe des Fasses ist h ,
Boden- und Deckfläche sind Kreise mit dem
Durchmesser 2 r ,
der Spunddurchmesser in halber Höhe des Fasses
ist 2 R .
Ein Achsenschnitt (Längsschnitt) des Fasses wird so
in die (x,y)-Ebene gelegt, dass die x-Ache mit der
Längsachse des Fasses zusammenfällt
und die y-Achse die zweite Symmetrieachse
des Achsenschnittes ist.
Wir notieren zwei markante Punkte des Längsschnittes
mit den zugehörigen Koordinaten:
A(0 / R ) , P ( ½ h / r )
Durch diese beiden Punkte ist eine Parabel
mit der y-Achse als Parabelachse zu legen.
Der Parabelbogen von A bis P erzeugt bei der Rotation
um die x - Achse das halbe Fassvolumen V/2.
Die Gleichung der Parabel lautet im Ansatz so :
y = a* x ^2 + c ...............................................................(0)
Die Parabel muss durch die Punkte A und P gehen.,
somit gilt (Koordinaten der Punkte in den Ansatz einsetzen):
durch A : c = R..............................................................(1)
durch P : r = a* h^2 / 4 + R , also 4r - 4R = a* h^2,
daraus
a = - 4*(R-r) /h^2 .............................................................(2)
Gleichung der Parabel
y = - 4 * (R - r ) / h^2 * x ^ 2 + R..................................(3)
Das Volumen V des ganzen Fasses ergibt sich als
bestimmtes Integral
V = 2 * Pi * int[y^2 * dx],untere Grenze 0,obere Grenze h/2.
Bei der Berechnung des Integrals lassen wir die Konstanten
a und c noch eine Zeitlang in der Rechnung stehen und ersetzen
sie erst gegen den Schluss durch ihre Werte gemäss (1) und (2).
Jetzt geht's erst richtig los:
V = 2 * Pi * int [( a^2 * x^ 4 + 2 a c * x ^ 2 + c ^ 2 )*dx ]
Grenzen wie oben erwähnt; gliedweise Integration ergibt:
V = 2 * Pi * [ a ^ 2 * x ^5 / 5 + 2 a c * x ^ 3 /3 + c^2 * x ]
die genannten Grenzen werden jetzt eingesetzt ,dabei ist nur
die obere Grenze h/2 wirksam, die untere Grenze null gibt
keinen Beitrag an das bestimmte Integral
die Faktoren 1/15 und h/2 ziehen wir vor die folgende eckige
Klammer; wir erhalten:
V = 2*Pi/15* h/2 * [3a^2*h^4/16 + 2ac* 5* h^2/4 + 15 * c^2 ]
Jetzt werden a und c gemäss obiger Angaben ersetzt;
in der eckigen Klammer hebt sich einiges weg:
die Faktoren 16 , 2 , h^4 und h^2
Hurra :keine Terme h in der eckigen Klammer mehr !
V = Pi * h / 15 * [3*(R-r)^2 - 10*(R-r)*R + 15 * R^2]
Schlussresultat:
V = Pi*h /15 * [ 8 * R ^ 2 + 4 R* r + 3 * r ^ 2 ]
Spezialfall:
R = r liefert die Volumenformel für den Rotationszylinder
mit Radius r und Höhe h:
V = Pi * r ^ 2 * h
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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