Autor |
Beitrag |
kristin (Krissi7)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 21:24: |
|
Brauch nochmal hilfe. Bitte, ich krieg`s einfach nicht gebacken. Aufgabe: Ein Fass hat ein parabelförmig gebogenes Daubenprofiel. Der Mathematiker Kepler gab die Formel für das Volumen eines solchen Fass`s an. V=h/15*pie*(8R zum quadrat+4Rr+3r zum quadrat).Führen Sie den Nachweis. 2.) Leiten Sie aus der Fassformel die Formel für das Zylindervolumen ab. Danke schon mal!!!!!!! Werd ich Euch nie vergessen. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 15:36: |
|
Hi Kristin, Jetzt soll die gewichtige Fassberechnung nach Kepler in Angriff genommen werden Die Daten sind Die Höhe des Fasses ist h , Boden- und Deckfläche sind Kreise mit dem Durchmesser 2 r , der Spunddurchmesser in halber Höhe des Fasses ist 2 R . Ein Achsenschnitt (Längsschnitt) des Fasses wird so in die (x,y)-Ebene gelegt, dass die x-Ache mit der Längsachse des Fasses zusammenfällt und die y-Achse die zweite Symmetrieachse des Achsenschnittes ist. Wir notieren zwei markante Punkte des Längsschnittes mit den zugehörigen Koordinaten: A(0 / R ) , P ( ½ h / r ) Durch diese beiden Punkte ist eine Parabel mit der y-Achse als Parabelachse zu legen. Der Parabelbogen von A bis P erzeugt bei der Rotation um die x - Achse das halbe Fassvolumen V/2. Die Gleichung der Parabel lautet im Ansatz so : y = a* x ^2 + c ...............................................................(0) Die Parabel muss durch die Punkte A und P gehen., somit gilt (Koordinaten der Punkte in den Ansatz einsetzen): durch A : c = R..............................................................(1) durch P : r = a* h^2 / 4 + R , also 4r - 4R = a* h^2, daraus a = - 4*(R-r) /h^2 .............................................................(2) Gleichung der Parabel y = - 4 * (R - r ) / h^2 * x ^ 2 + R..................................(3) Das Volumen V des ganzen Fasses ergibt sich als bestimmtes Integral V = 2 * Pi * int[y^2 * dx],untere Grenze 0,obere Grenze h/2. Bei der Berechnung des Integrals lassen wir die Konstanten a und c noch eine Zeitlang in der Rechnung stehen und ersetzen sie erst gegen den Schluss durch ihre Werte gemäss (1) und (2). Jetzt geht's erst richtig los: V = 2 * Pi * int [( a^2 * x^ 4 + 2 a c * x ^ 2 + c ^ 2 )*dx ] Grenzen wie oben erwähnt; gliedweise Integration ergibt: V = 2 * Pi * [ a ^ 2 * x ^5 / 5 + 2 a c * x ^ 3 /3 + c^2 * x ] die genannten Grenzen werden jetzt eingesetzt ,dabei ist nur die obere Grenze h/2 wirksam, die untere Grenze null gibt keinen Beitrag an das bestimmte Integral die Faktoren 1/15 und h/2 ziehen wir vor die folgende eckige Klammer; wir erhalten: V = 2*Pi/15* h/2 * [3a^2*h^4/16 + 2ac* 5* h^2/4 + 15 * c^2 ] Jetzt werden a und c gemäss obiger Angaben ersetzt; in der eckigen Klammer hebt sich einiges weg: die Faktoren 16 , 2 , h^4 und h^2 Hurra :keine Terme h in der eckigen Klammer mehr ! V = Pi * h / 15 * [3*(R-r)^2 - 10*(R-r)*R + 15 * R^2] Schlussresultat: V = Pi*h /15 * [ 8 * R ^ 2 + 4 R* r + 3 * r ^ 2 ] Spezialfall: R = r liefert die Volumenformel für den Rotationszylinder mit Radius r und Höhe h: V = Pi * r ^ 2 * h Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
|