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Beitrag |
    
christian (Christian18)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 21:58: | 
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Muss ein referat über einen Beweis mit vollständiger induktion halten.
Die Aufgabe:
Stelle die n-Ableitung von 1:xhoch2 auf und beweise sie mir vollständiger induktion.
bin für jede hilfe dankbar |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 10:59: |
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Hallo Christian,
f(x)= 1/x²
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Wir bilden ein paar Ableitungen:
f'= -2/x³
f"= 6/x4
f"'= -24/x5
f""= 120/x6
Dies führt zu der Vermutung:
f(n) = (-1)n(n+1)!/xn+2
Dies müssen wir nun durch vollständige Induktion beweisen:
Wir nehmen an, die blaue Formel ist richtig (= Hypothese)
Wir müssen beweisen:
Falls die Hypothese für n richtig ist,
so ist sie auch für n+1 richtig.
wir setzen zunächst für n->n+1 ein
f(n+1)= (-1)n+1(n+1+1)!/(xn+1+2)=
= (-1)(-1)n(n+1)!((n+2)/(xn+3)
Dies ist also das Resultat, wenn wir n durch n+1 ersetzen.
Jetzt differenzieren wir die (blaue) Hypothese direkt
f(n)=(-1)n(n+1)!x-n-2
f(n+1)=(-1)n(n+1)!(-n-2)x-n-2-1=
=(-1)n(n+1)!(-1)(n+2)/xn+3
Die beiden roten Resultate sind gleich, also ist die Formel für (n+1) richtig falls sie für n richtig ist.
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Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass die Formel für n=1 richtig ist:
f'=(-1)1(1+1)!/x1+2=-2/x³ unser bekanntes Resultat.
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Wir haben gezeigt:
Formel für n=1 richtig
dann auch für n+1, also für n=2 richtig,
dann auch für n=3 richtig
.
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also für alle n richtig.
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