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Katharina Stefanie (Idaisy)
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 18:06: |
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Hi Mathegenies, folgende Aufgabe war gestellt: Auf der Kurve f(x)=1/3x³- 2x +1 werden die punkte mit den x-Werten x1 = 1 und x2 =3 verbunden. In welchem Kurvenpunkt verläuft die Tangente parallel zu dieser Sekante? Wir haben im Unterricht folgendes Ergebnis erhalten: die Ableitung der Funktion ergab allgemein: f'(x0)=x0²-2 und für den gesuchten Kurvenounkt hatten wir für x1 wurzel aus 13/3 und -wurzel aus 13/3 raus. dann lautete die Aufgabe: LÖSE DIE AUFGABE ALLGEMEIN FÜR f a(x) = 1/3 x³-ax+1. Die Lösung war dann diese: fa(x) = f(x) = (1/3)x³ - ax + 1 x1 = 1 ==> f(x1) = 1/3 - a ==> P1(1|1/3-a) x2 = 3 ==> f(x2) = 9 - 3a ==> P2(3|9-3a) m = ( 9-3a - (1/3-a) ) / ( 3-1 ) = ½( 26/3 - 2a ) = 13/3 - a m = f'(x0) und f'(x) = x² - a ergeben 13/3 - a = x0² - a x0 = ±(13/3)1/2 Von Megamath wurde mir folgende Zusatzfrage gestellt:. die gesuchten x-Werte der Berührungspunkte der Tangenten sind unabhängig vom Scharparameter a. Meine Aufgabe lautet : Wie kann diese Tatsache rein geometrisch (ohne Rechnung) begründet werden ? Danke für eure Hilfe im Voraus, die Antwort auf die Frage interessiert mich nämlich sehr. bis bald Kathi |
Michael
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 20:36: |
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Unterschiedliche Werte für a würden die Sekante nur parallel verschieben, d.h. die Steigung bliebe gleich! Die Ableitung einer Funktion entspricht der Steigung der Tangenten in dem Punkt! Ich hoffe, Du kannst mit dieser Erklärung etwas anfangen! Michael |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 21:18: |
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Hi Michael , So einfach ist der Sachverhalt nicht. Sekanten, die zu verschiedenen a-Werten gehören, sind nicht parallel So ist die Steigung der fraglichen Sekante für a= 1 m1= 10 / 3 , für a = 2 hingegen m2 = 7 / 3 Die Kernstück der Aufgabe liegt wesentlich tiefer. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser, megamath. |
Lars (Thawk)
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 19:58: |
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Hi Kathi. Ich denke, die Antwort auf diese Zusatz-Frage hängt damit zusammen, dass 'ax' in der 1. Ableitung nur noch 'a' ist. Zeichnet man den Graphen der 1. Ableitung für verschiedene 'a' erkennt man, dass a nun wirklich nur noch eine Verschiebung entlang der y-Achse bewirkt. Ein Berührpunkt liegt nach Definition dort, wo (u.a.) die 2. Ableitung 0 wird; anders ausgedrückt hat der Graph der 1. Ableitung an der entsprechenden Stelle ein mögliches Extremum. Weil dieser Graph jetzt nur noch nach oben und unten verschoben wird, bleibt die x-Koordinate der Berührpunkte für verschiedene 'a' gleich. Ich bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob diese Begründung richtig ist. Ich denke, megamath wird aber wohl eine Bewertung abgeben - nicht???! Bin auf jeden Fall gespannt ob's stimmt - die Aufgabe interessiert mich auch! Ciao, Lars |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 13:50: |
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Hi Lars, Um dieses Problem in den Griff zu bekommen, müssen wir Anlauf nehmen und zuerst die entsprechende Frage für eine quadratische Funktion behandeln I Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = a x ^ 2 + b x ^ 2 + c Zwei verschiedene x-Werte x1 und x2 sind vorgegeben. Die Gerade s ist die Sekante, welche die Kurvenpunkte P1 ( x1 / f(x1) ) und P2 ( x2 / f(x2) ) verbindet. Gesucht wird ein Punkt Po(xo/yo) auf der Parabel, in welchem die Tangente t parallel zur Sekante verläuft. Man zeige insbesondere, dass xo nur von x1 und x2 , nicht aber von den Koeffizienten a, b, c der Funktionsgleichung abhängt. a) rechnerische Lösung Die Steigung ms der Sekante ist: ms = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) = [a * ( x2 ^ 2 - x1 ^ 2 ) + b* ( x 2 - x 1 ) ] / ( x2 - x1) = a*( x2 + x1 ) + b Die Steigung von t ist mt = f ' (xo) = 2 * a * xo + b Aus mt = ms folgt : xo = ½ * (x1+x2) °°°°°°°°°°°°°°°°°° a und b haben sich weggehoben, und c spielte von Anfang an eine Statistenrolle. Somit gilt für die entsprechenden Punkte auf der x-Achse: Po ' ( xo / 0) ist der Mittelpunkt der Strecke P1 ' ( x1 / 0 ) P2 ' ( x2 / 0 ). b) geometrische Interpretation Für alle Kegelschnitte gilt der folgende Satz: Die Mittelpunkte paralleler Sehnen .inklusive die Berührungspunkte der zu diesen Sehne parallelen Tangenten liegen auf dem zur Richtung der Sehnen konjugierten Durchmesser des Kegelschnittes. Anwendung auf die Parabel.: Der zu s und t konjugierte Durchmesser der Parabel ist parallel zur Parabelachse und damit parallel zur y-Achse; er geht durch den Punkt Po' . c) Rückgriff auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung In der Formel {F(x+h) - F(x)} / h = F ' ( x + T * h ) berechne man T für F(x) = x^2 und ermittle den Grenzwert von T für h gegen null Resultat: T = ½ unabhängig von h !! Anmerkung Der rechnerische Teil dieser Aufgabe kommt , meistens verkappt, in vielen Prüfungsaufgaben vor. II. Analoge Betrachtung für die kubische Funktion f(x) = a x ^3 + b x + c a) rechnerische Lösung Die Steigung ms der Sekante ist: ms = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) = [ a* ( x2 ^ 3 - x1 ^ 3) + b* ( x 2 - x 1 ) ] / ( x2 - x1) = a* ( x2 ^ 2 + x1 * x2 + x1 ^ 2 ) + b Die Steigung von t ist mt = f ' (xo) = 3 * a * xo ^ 2 + b Aus mt = ms folgt : xo ^ 2 = 1/3 * ( x1 ^2 + x1* x2 +x2 ^2 ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° a und b haben sich weggehoben, und c spielte von Anfang an eine Statistenrolle. Aus Symmetriegründen findet man zwei entgegengesetzt gleiche Lösungen für xo. Für x1=0 kommt xo^2 = x2 ^ 2 / 3 also xo = (plus/minus) x2 / wurzel(3). b) eine geometrische Interpretation fehlt noch. c) Rückgriff auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung In der Formel {F(x+h) - F(x)} / h = F ' ( x + T * h ) berechne man T für F(x) = x ^ 3 und ermittle den Grenzwert von T für h gegen null Resultat: T strebt gegen ½ ,wenn x nicht null Für x = 0 ergibt sich h^2 = 3*T^2*h^2, also T = 1 / wurzel(3) !! Das wär's ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
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