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Anka Janousek (Anka82)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 14:14: | 
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hallihallo, ich hab ein Problem...oder eigentlich drei, die ich für meine Abiklausur brauche:
Homomorphismus, Injektivität und Surjektivität.
Habt ihr genaue Def. und Beweisverfahren in bezug auf Vektoren?
schon ím Vorraus ein dickes Danke! |
J
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 15:38: |
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Injektiv:
Eine Funktion f:A-->B heißt injektiv genau dann, wenn aus f(a1)=f(a2) folgt, dass a1 = a2 ist.
In Umgangssprache: verschieden Elemente aus A werden durch f auf verschiedene Elemente von B abgebildet.
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surjektiv:
eine Funktion f:A-->B heißt surjektiv genau dann, wenn es für alle b aus B ein a aus A gibt mit f(a)=b.
In Umgangssprache: Die Menge der Funktionswerte von f ist die Menge B.
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Homomorphismus:
zwei Strukturen (A,°) und (B,*) sind homomorph, wenn gilt:
Es gibt eine Funktion f:A-->B mit der Eigenschaft f(a1°a2) = f(a1)*f(a2).
Die Funktion f heißt Homomorphismus.
Dabei sind ° und * irgendwelche Verknüpfungen, die Auf A bzw auf B definiert sind.
Ein Homomorphismus ist also eine strukturtreue Abbildung.
Wenn die Erklärung zu kompakt war, melde dich noch mal! |
Anka Janousek (Anka82)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 16:33: |
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Erstmal danke, aber ich hab ein Problem. Was heißt "Strukturen" oder "strukturtreue Abb."?
Wir hatten in einer Klausur folgende Aufg. zu der mir nur noch Bahnhof einfällt. Vielleicht kannst du mir ja helfen..
gegeben ist die Abb. f:R3-->R3, def. durch
f((x,y,z))=(3x+2y, x+3z, xz)
Beweise oder widerlege:
a) f ist Vektorraum-Homus
b) f ist injektiv
c) f ist surjektiv
zua)habe ich durch k*f(x,y,z)ungleich f(kx,ky,kz)
widerlegt
lieben Gruß A. |
J
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 10:42: |
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a) hast du richtig angapckt. Ich hab allerdings keine Lust, das nachzurechnen, ich glaub es einfach mal, dass du richtig gerechnet hast)
zu b) und c)
wir nehmen an, dass es für den Vektor(a,b,c) einen Vektor (x,y,z) gibt mit f(x,y,z) = (a,b,c).
Damit versuchen wir, (x,y,z) auszurechnen.
Aus (3x+2y,x+3z,xz)=(a,b,c) machen wir ein Gleichungssystem:
3x+2y = a
x+3z = b
xz = c
Für c ungleich 0 können nicht x und z beide gleich 0 sein.
Gehen wir erst mal davon aus, dass c ungleich 0 ist, dann sind auch x und z ungleich 0.
Dann wird aus xz = c
z=c/x.
Das setzen wir in die zweite Gleichung ein und erhalten:
c/z+3z = b
Wenn wir diese Gleichung nach z auflösen, erhalten wir:
z= (b +- Ö(b²-12c))/6
Daran sehen wir sofort, dass b² >12c gelten muss, sonst gibt es keine Lösung.
Damit wissen wir schon genug um zeigen zu können, dass f NICHT surjektiv ist:
denn: für (a,b,c) = (1,0,1) beispielsweise ist die Bedingung nicht erfüllt. Es gibt keinen Vetor (x,y,z) der durch f auf (1,0,1) abgebildet wird.
Andererseits kann man jetzt auch leicht sehen, dasss f NICHT injektiv ist: denn für b²>12c lassen sich für z zwei Lösungen bestimmen, und jede von diesen erlaubt es dann, jeweils eine Lösung für y und für x auszurechnen.
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Wes 'Struktur' und 'strukturtreu' angeht:
Da ich nicht wusste wofür du den Homomorphismus brauchst, hab ich die Erklärung allgemen gehalten. Für eine Abbildung(Funktion) f:R3 --> R3 kannst du einfacher sagen:
f ist Homomorphismus genau dann, wenn gilt:
f(x*Va + y*Vb) = x*f(Va)+y*f(Vb) für alle reellen Zahlen x und y und alle Vektoren Va und Vb aus R3
Hoffe, dasss ich dir damit geholfen habe.
Grüße J |
Anka Janousek (Anka82)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 11:19: |
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Sehr sogar!!!
Danke nochmal. Ich komme bestimmt nochmal wieder |
kea
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 18:27: |
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hi!habe ein großes problem bei der vektorenrechnung.aufgabe:Beweise die sogennante parallelogrammgleichung:die quadrate über den seiten eines parallelogramms sind zusammen genauso groß wie die quadrate über den diagonalen.wie funktioniert das?bitte helft mir |
J
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 21:32: |
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Wenn das Parallelogramm durch die Vektoren Va und Vb aufgespannt wird, so sind die Diagonalen (Va + Vb) bzw. (Va-Vb) Die Summe der Quadrate über den Diagonalen ist also:
(Va+Vb)²+(Va-Vb)² =
Va²+2Va*Vb+Vb² +Va²-2Va*Vb+Vb²=
Va²+Va²+Vb²+Vb²
Was zu beweisen war
Gruß J |
KEA
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 22:20: |
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VIELEN DANK!KOMMT ZWAR ETWAS SPÄT ABER ES KOMMT.
VIELE GRÜßE |
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