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Flo (Fuzil)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 11:34: |
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also ich hab folgendes problem: Ich brauch unbedingt einen Beweis über das Skalarprodukt, dass beim Apolloioskreis folgendes gilt: Vor:_________ _________ _________ _________ b:a=AT(innen):T(innen)B=AT(außen):T(außen)B Behauptung: winkel zwischen den beiden winkelhalbierenden = 90° (wobei T der punkt ist wo die winkelhalbierenden des winkels bei C (innen/außen (Ergänzungswinkel)) die Grundlinie c schneidet zweitens den umkehrbeweis: Vor: winkel (T(innen)CT(außen)=90° _________ _________ Beh: b:a=AT(innen):T(außen)B Ich bräuchte es echt dringend. Danke schon mal |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 16:46: |
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Hi Floh, Die Formulierung Deiner Aufgabe über den Apolloniuskreis muss etwas präziser sein. Es geht dabei nicht darum, zu beweisen, dass der Winkel zwischen den Halbierenden des Innen- und Aussenwinkels bei einer Ecke des Dreiecks 90° misst, sondern um einen Beweis des Satzes von Apollonius in beiden Richtungen, unter Verwendung des Skalarproduktes. Im folgenden führe ich einen ersten Teil dieses Beweises aus, bei welchem die genannten Winkelhalbierenden nicht gebraucht werden, was nicht Usus ist. Wir benützen ein (x,y)-Koordinatensystem. Auf der x-Achse liegen die festen Punkte A(-a/0), B(a/0) T1 (x1/0)) ist der innere,T2 (x2/0) der äussere Teilpunkt der nach dem Verhältnis m: n = L (lambda) geteilten Strecke AB "Bekanntlich" gilt dann: x1 = a * ( L-1 ) / ( L+1 ) , x2 = a * (L + 1 ) / ( L - 1 ).................(1) Vorsorglich berechnen wir die Summe und das Produkt dieser Terme: x1 + x2 = 2*a* (L^2+1)/(l^2-1) .....................................................(2) x1 + x2 = a^2 Voraussetzung des Satzes Ein (laufender) Punkt P(x/y) der Ebene habe nun von A und B das konstante Abstandsverhältnis m : n = L Wir zeigen (dies ist die Behauptung), dass das Skalarprodukt der Vektoren P T1 und P T2 null ist ,die Vektoren also aufeinander senkrecht stehen und P somit auf dem Thaleskreis mit T1 T2 als Durchmesser liegt. Aus der Voraussetzung folgt :PA^2 = L ^ 2 * PB ^ 2 , also (x+a)^2 + y^2 = 2 * [(x-a)^2 + y^2 ], daraus : L ^ 2 = [(x+a)^2 + y^2 ] / [ (x-a) ^ 2 + y ^ 2] Wiederum vorsorglich berechnen wir: L^2 +1 , L^2 - 1 und ( L^2 +1 ) / ( L ^ 2 - 1 ) Ergebnisse: L ^ 2 + 1 = [2 x^2 + 2 y ^2 + 2 a^2] / N L ^ 2 - 1 = 4 a x / N mit N = (x-a)^2 + y^2. Daraus ( L^ 2 + 1 ) / ( L ^ 2 - 1 ) = (x^2 + y^2 + a^2 ) / (2ax)........................(3) Jetzt setzen wir das Skalarprodukt S der Vektoren PT1 und PT2 an, wobei für diese Vektoren gilt: PT1 = {x1 - x ; 0 - y}, PT2 = {x2 - x ; 0 - y}, somit S = PT1 . PT2 = ( (x1 - x )*(x2 - x ) + y ^ 2 = x1*x2 - (x1 + x2 ) * x + x ^ 2 + y ^ 2 Jetzt verwenden wir die Formeln (2), und wir bekommen zunächst S = a^2 - [L^2+1] / [L^2 - 1 ] * 2 * a * x und schliesslich mit (3) S = a^2 - x^2- y^2 - a^2 + x^2 + y ^2 = 0.................................BRAVO Damit lassen wir's bewenden Freundliche Grüsse H.R.Moser,megamath. |
Flo (Fuzil)
| Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 10:45: |
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danke schonmal (wow, muss mich erstmal einlesen, check noch nicht so viel) Das ist besonders schlecht weil es im Rahmen meiner Facharbeit ist. Theme: Skalarprodukt bei elementargeometrischen Beweisen, d.h.: ca dass was man 7-10 Klasse macht. Die Angabe über den A-Kreis hab ich auf [url]http://www.geocities.com/fuzil2000/Appolonioskreis.zip[/url] hochgeladen. (Ich brauch den Beweis Seite 3-4, wobei das hier ja schon der erste Teil zu seien scheint) THX!!! Ich meld mich nochmal wenn ich durch bin *g* Flo(h) |
Flo (Fuzil)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 14:19: |
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kannst du den umkehrbeweis nicht auch noch machen bitte?!?! thx |
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