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Beweis über Skalarprodukt (Apollonios...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Beweisführung » Beweis über Skalarprodukt (Apollonioskreis) « Zurück Vor »

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Flo (Fuzil)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 11:34:   Beitrag drucken

also ich hab folgendes problem:
Ich brauch unbedingt einen Beweis über das Skalarprodukt, dass beim Apolloioskreis folgendes gilt:
Vor:_________ _________ _________ _________
b:a=AT(innen):T(innen)B=AT(außen):T(außen)B
Behauptung: winkel zwischen den beiden winkelhalbierenden = 90°
(wobei T der punkt ist wo die winkelhalbierenden des winkels bei C (innen/außen (Ergänzungswinkel))
die Grundlinie c schneidet

zweitens den umkehrbeweis:
Vor: winkel (T(innen)CT(außen)=90°
_________ _________
Beh: b:a=AT(innen):T(außen)B

Ich bräuchte es echt dringend. Danke schon mal
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 16:46:   Beitrag drucken

Hi Floh,

Die Formulierung Deiner Aufgabe über den
Apolloniuskreis muss etwas präziser sein.
Es geht dabei nicht darum, zu beweisen, dass der Winkel
zwischen den Halbierenden des Innen- und Aussenwinkels
bei einer Ecke des Dreiecks 90° misst,
sondern um einen Beweis des Satzes von Apollonius
in beiden Richtungen, unter Verwendung des Skalarproduktes.

Im folgenden führe ich einen ersten Teil dieses Beweises
aus, bei welchem die genannten Winkelhalbierenden nicht
gebraucht werden, was nicht Usus ist.

Wir benützen ein (x,y)-Koordinatensystem.
Auf der x-Achse liegen die festen Punkte A(-a/0), B(a/0)
T1 (x1/0)) ist der innere,T2 (x2/0) der äussere Teilpunkt der nach
dem Verhältnis m: n = L (lambda) geteilten Strecke AB
"Bekanntlich" gilt dann:
x1 = a * ( L-1 ) / ( L+1 ) , x2 = a * (L + 1 ) / ( L - 1 ).................(1)
Vorsorglich berechnen wir die Summe und das Produkt dieser
Terme:
x1 + x2 = 2*a* (L^2+1)/(l^2-1) .....................................................(2)
x1 + x2 = a^2

Voraussetzung des Satzes
Ein (laufender) Punkt P(x/y) der Ebene habe nun von A und B
das konstante Abstandsverhältnis m : n = L

Wir zeigen (dies ist die Behauptung), dass das Skalarprodukt der
Vektoren P T1 und P T2 null ist ,die Vektoren also aufeinander
senkrecht stehen und P somit auf dem Thaleskreis mit T1 T2 als
Durchmesser liegt.

Aus der Voraussetzung folgt :PA^2 = L ^ 2 * PB ^ 2 , also
(x+a)^2 + y^2 = 2 * [(x-a)^2 + y^2 ], daraus :
L ^ 2 = [(x+a)^2 + y^2 ] / [ (x-a) ^ 2 + y ^ 2]

Wiederum vorsorglich berechnen wir:
L^2 +1 , L^2 - 1 und ( L^2 +1 ) / ( L ^ 2 - 1 )
Ergebnisse:
L ^ 2 + 1 = [2 x^2 + 2 y ^2 + 2 a^2] / N
L ^ 2 - 1 = 4 a x / N mit N = (x-a)^2 + y^2.
Daraus
( L^ 2 + 1 ) / ( L ^ 2 - 1 ) = (x^2 + y^2 + a^2 ) / (2ax)........................(3)

Jetzt setzen wir das Skalarprodukt S der Vektoren PT1 und PT2 an,
wobei für diese Vektoren gilt:
PT1 = {x1 - x ; 0 - y}, PT2 = {x2 - x ; 0 - y}, somit
S = PT1 . PT2 = ( (x1 - x )*(x2 - x ) + y ^ 2
= x1*x2 - (x1 + x2 ) * x + x ^ 2 + y ^ 2
Jetzt verwenden wir die Formeln (2), und wir bekommen zunächst
S = a^2 - [L^2+1] / [L^2 - 1 ] * 2 * a * x
und schliesslich mit (3)
S = a^2 - x^2- y^2 - a^2 + x^2 + y ^2 = 0.................................BRAVO

Damit lassen wir's bewenden

Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath.
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Flo (Fuzil)
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 10:45:   Beitrag drucken

danke schonmal (wow, muss mich erstmal einlesen, check noch nicht so viel)
Das ist besonders schlecht weil es im Rahmen meiner Facharbeit ist.
Theme:
Skalarprodukt bei elementargeometrischen Beweisen, d.h.: ca dass was man 7-10 Klasse macht.
Die Angabe über den A-Kreis hab ich auf
[url]http://www.geocities.com/fuzil2000/Appolonioskreis.zip[/url]
hochgeladen. (Ich brauch den Beweis Seite 3-4, wobei das hier ja schon der erste Teil zu seien scheint) THX!!!
Ich meld mich nochmal wenn ich durch bin *g*
Flo(h)
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Flo (Fuzil)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 14:19:   Beitrag drucken

kannst du den umkehrbeweis nicht auch noch machen bitte?!?!
thx

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