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Beitrag |
    
Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 16:30: | 
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Ich habe da in einem Beitrag folgendes gelesen:
ln(a+bi) = ln(sqrt(a²+b²)) + arctan(b/a)i
Wenn man nun z.B. den Logarithmus aus 3 + 8i nach dieser Formel berechnet, kommt auch wie erwartet das richtige Ergebnis heraus, denn wenn man anschließend wieder e^(...) berechnet, stimmt das mit 3 + 8i überein.
Probiert man das aber z.B. für -3 + 8i, und wendet anschließend wieder e^(...) an, so kommt
3 - 8i heraus, also beide Vorzeichen sind unterschiedlich.
Was hat das nun zu bedeuten? So gut kenne ich mich nicht gerade aus, dass ich mir erklären könnte, warum das Ergebnis sich vom Ausgangswert unterscheidet. Ist etwa die Formel unvollständig ; ist sie etwa auf einen gewissen Bereich beschränkt oder lässt sich das durch die Vieldeutigkeit der Winkelfunktionen erklären?
Wäre schön, wenn mir da jemand helfen könnte (und ich anschließend meinen Beitrag auch als nicht registrierter Benutzer wieder zu Gesicht bekomme und er nicht irgendwo im gesperrten Archiv verschwindet...)
Grüße, Nuefz |
Kirk (kirk)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 74
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 19:58: |
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Hallo,
du nennst das richtige Argument: Die Mehrdeutigkeit der e-Funktion im Komplexen.
Daraus folgt, dass nicht für jede komplexe Zahl z die Formeln e^(lnz)=z und ln(e^z)=z gelten.
e- und ln-Funktion sind nur innerhalb gewisser Bereiche umkehrbar.
Grüße,
Kirk
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Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 18:05: |
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Hallo Kirk,
Vielen Dank für deine Erklärung - jetzt muss ich
also doch nicht noch weiterhin nach einer Lösung für dieses Problem suchen...
Gruß Nuefz |
gofal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 18:26: |
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Ganz stimmt es nicht: Die e-Funktion ist auch im Komplexen eindeutig!
Nur ist die e-Funktion im C periodisch, was die Umkehrfunktion, also die ln-Funktion, mehrdeutig macht. Die Formel, die Nuefz angegeben hat, ist also nicht ganz vollständig. Sie müßte lauten:
ln(z) = ln (Abs(z)) + i*( Arg(z) + 2pk ) für alle k aus Z. |
wolke
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 12:24: |
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Hallo,
am besten kannst du dir die Vieldeutigkeit des Logarithmus so erklären, dass eben jene Funktion die Stereographische Abbildung (ist einwertig) auf die Mercatorkarte abbildet. Letztere Abbildung ist vielwertig.
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