| Autor |
Beitrag |
    
Rich
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 11:55: | 
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Das Dreieck A (5/6-/7),B(7-/6/7),C(5/6/5-) ist die Grundfläche einer 3-seitigen Pyramide mit gleichen Seitenkanten, deren Spitze in der Ebene: e: x+y+z=30 liegt.
Ermitteln Sie die Koordinaten von der Spitze S.
Ich weiß, dass ich die Höhe mit der Ebene schneiden muß. Um eine Geradenglg. der Höhe aufzustellen brauche ich den Richtungsvektor (Normalvektor der Grundfläche-kein Problem) und einen Punkt. Geht die Höhe in diesem Fall durch den Schwerpunkt der Dreiecksgrundfläche ABC oder nicht? Wie kann ich dann die Geradenglg. der Höhe aufstellen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 09:42: |
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Hi Rich,
Der Höhenfusspunkt F in der Ebene des Dreiecks
ABC ist nicht der Schwerpunkt des Dreiecks,
sondern der Umkreismittelpunkt U des Dreiecks,
wie die folgende stereometrische Analyse ergibt
Da die Spitze S von A und B gleiche Abstände hat,
liegt S in der Mittelnormalebene der Seite AB,
das heisst in derjenigen Ebene, welche durch den
Mittelpunkt der Strecke AB geht und zu AB senkrecht steht.
Analoges gilt für die Seiten BC und CA.
Die drei Mittelnormalebenen schneiden sich in einer einzigen
Geraden u, welche durch den Umkreismittelpunkt U geht
und auf ABC senkrecht steht
Um die Spitze S zu finden, brauchen wir nur zwei der genannten Mittelnormalebenen
Für die rechnerische Ausführung empfiehlt
sich die folgende Lösung:
Die Spitze S muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
S liegt in der gegebenen Ebene
S hat von A und B gleiche Abstände
S hat von B und C gleiche Abstände
Man erhält so drei Gleichungen für die drei Koordinaten von S
(man setze in den obigen Bedingungen die Abstandsquadrate ein)
Eine Frage zum Schluss
Was bedeuten in Deinen Koordinatenangaben die Querstriche ?
Sind es Minuszeichen ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 10:18: |
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Hallo,
Es ist in der Mathematik nicht gerade üblich, Minuszeichen hinter den Zahlen zu schreiben!
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Ich habe die Aufgabe mal konkret durchgerechnet mit einer etwas anderen Methode als H.R.Moser es beschrieben hat:
A,B,C ist ein gleichseitiges Dreieck.
Wir bezeichnen den Mittelpunkt der Strecke AB mit M.
M=(A+B)/2 = (-1;0;7)
Gerade M nach C:
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Richtung: C-M= (6;6;-12)
(x;y;z)= (-1;0;7)+t*(6;6;-12)
für t=0 ergibt sich der Punkt M
für t=1 ergibt sich der Punkt C
für t=(1/3) regibt sich der Punkt F (Fußpunkt der Höhe)
F= (-1;0;7)+(1/3)*(6;6;-12) = (1;2;3)
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Höhengerade:
Richtung = Normale der Ebene e: (1;1;1)
Gleichung: (x;y;z) = (1;2;3) + s*(1;1;1)
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Schnittpunkt dieser Geraden mit e:
x+y+z=30 = 1+s +2+s +3+s
daraus s=8
eingesetzt in Geradengleichung ergibt die Spitze S:
S=(9;10;11)
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Zur Probe: Die Längen AS, BS und CS müssen gleich lang sein:
|AS| = 12*Wurzel(2)
|BS| = 12*Wurzel(2)
|CS| = 12*Wurzel(2)
Ebenso: |AB|=|AC|=|BC| = 12*Wurzel(2)
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