| Autor |
Beitrag |
    
Hendrik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 19:59: | 
|
Wer kann mir helfen? Folgende Aufgabe ist gestellt:
Gib drei Ebenen durch den Ursprung an, die von
P(3;-1;7) den Abstand 5 haben. |
H,R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 21:47: |
|
Hi Hendrik,
Es gibt unendlich viele Ebenen der verlangten Art.
Alle diese Ebenen sind Tangentialebenen eines
Rotationsgels mit Spitze im Nullpunkt O
und der Achse OM , welcher die Kugel k mit dem
Mittelpunkt M und dem Radius r = 5 berührt, eines
sogenannten Berührungskegels der Kugel.
Es sollte uns daher nicht allzu schwer fallen , "bloss"
drei solche Ebenen explizit anzugeben !
Bei den folgende Berechnungen ergeben sich fast
von selbst folgende vier Ebenen:
E1: 7x + 4y + 4z = 0
E2: x + 2y + 2z = 0
E3 : 2x - 2y + z = 0
E4 : 11x - 16 y + 8z = 0.
Dabei habe ich nach Lösungen gesucht,bei denen
alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
Du kannst die Kontrolle machen :
Wie man sofort sieht, gehen alle Ebenen durch O
Mit der Formel von Hesse kontrollierst Du , ob die Ebenen
Je den Abstand 5 haben. Auch dieser Test fällt positiv aus
Die Gleichungen sind der Reihe nach mit
wurzel(7^2+4^2+4^2) = wurzel(81) =9
wurzel(1^2+2^2+2^2) = wurzel(9) = 3
wurzel(2^2+2^2+1^2) = wurzel(9) = 3
wurzel(11^2+16^2+8^2)= wurzel(441) = 21
zu dividieren, dann sind die Koordinaten x,y,z durch
die entsprechenden Koordinaten von M zu ersetzen
Der Absolutbetrag der linken Seiten der Normalformen
ergibt jedesmal 5 - wie es sein muss.
Lösungsgang
In der allgemeinen Gleichung einer Ebene E
ax + by + cz + d = 0 ist d = 0 , weil E durch O geht
Ferner normieren wir einen der übrigen Koeffizienten,
etwa c mit eins .
Somit gilt als Ansatz für E:
ax + by + z = 0
Wir bringen diese Gleichung auf die Hesse-Normalform ;
diese lautet:
(ax + by + z ) / wurzel (a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ) = 0
Nun setzen für x , y ,z wir die Koordinaten von M ein ;
Die linke Seite hat dann den Wert 5 und es entsteht
Nach Wegschaffung des Nenners die Gleichung
3a -b + 7 = 5 * wurzel(a^2 + b^2 + 1).....................(I)
Wir behandeln b als Parameter und wählen für b geeignete
Werte, setzen diesen in die letzte Gleichung ein und lösen
sie nach a auf.
Eine zahlentheoretische Untersuchung ,die ich Dir lieber
vorenthalte, zeigt, dass es b-Werte gibt, für welche a
rational wird ;
dazu gehören die Werte b = 1 und b = -2, wie die folgende
Rechnung zeigt:
1) b = 1 führt nach dem Quadrieren von (I) auf die
quadratische Gleichung für a:
8 a ^ 2 -18 a + 7 = 0 mit den Lösungen a1 = 7/4 , a2 = ½
Das gibt die Ebenen E1 und E2 von oben
2) b = - 2 gibt die Gleichung
8 a ^ 2 - 27 a + 22 = 0 mit den Lösungen
a3 = 2 , a4 = 11 / 8. ; das gibt die Ebenen E3 und E4 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
