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Beitrag |
    
Reto Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 08:34: | 
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Hallo,
Mit der folgenden Aufgabe komme ich nicht zu
Rande.
Von einer Schar gleichseitiger Hyperbeln
(Normalhyperbeln) geht jede durch den Punkt P(30/18)
und berührt die x-Achse im Nullpunkt.
Beweise, dass die Mittelpunkte solcher Hyperbeln auf
einem Kreis liegen und bestimme den Mittelpunkt
und den Radius dieses Kreises.
Für jede Hilfe besten Dank zum voraus !
mfG
Reto
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 15:22: |
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Hi Reto,
Vorbemerkung bezüglich der Nomenklatur:
Bei einer gleichseitigen Hyperbel stimmen die beiden
Halbachsen überein.
Da die Asymptoten einer solchen Hyperbel senkrecht
aufeinander stehen, also „normal“ sind ,
liegt zugleich eine so genannte Normalhyperbel vor.
Für die Gleichung der Hyperbel setzen wir
die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts
an, welche bekanntlich so lautet:
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x +2 E y + F = 0
Wir setzen (Normierung) A = 1,
F = 0 (die Kurve geht durch den Nullpunkt O),
C = - A = -1 (es liegt eine gleichseitige Hyperbel vor)
Berührung der x-Achse im Nullpunkt :
x = 0 ist eine doppelte Nullstelle der Gleichung, die für
y = 0 entsteht: x^2 + 2 D x = 0 ; es muss D = 0 gelten.
Der langen Rede kurzer Sinn ist der :
x ^ 2 + 2 B x y - y ^ 2 + 2 E y = 0 ……………………… (1)
kann als Gleichung der gesuchten Hyperbel gelten.
Eine Beziehung zwischen den übrig bleibenden
Koeffizienten B und E entsteht durch die Forderung,
dass die Hyperbel durch den gegebenen Punkt P(30/18)
gehen muss.
Umsetzung dieser Bedingung:
900 + 1080 B – 324 + 36 E = 0 oder
E = - 16 – 30 B.......................................................................(2)
Wir ermitteln den Mittelpunkt M (u /v) der Hyperbel
auf folgende Art.
Die Gleichung (1) wird implizit nach x abgeleitet:
2 x + 2 B y + 2 B x y ´ - 2 y y ´ + 2 E y ´ = 0
Auflösung nach y ´ :
y ´ = - [ x +B y ] / [ B x - y + E ]
Es gibt 2 Punkte P1, P2 auf der Hyperbel, in denen die
Tangenten parallel zur x-Achse sind
Diese Punkte sind charakterisiert durch die Bedingung
y´ = 0 , also gilt
x + B y = 0 ; das ist die Gleichung einer Geraden g1,
welche die Punkte P1 und P2 verbindet und somit
durch M geht.
Es gibt 2 Punkte P3, P4 auf der Hyperbel, in denen die
Tangenten parallel zur y-Achse sind
Diese Punkte sind charakterisiert durch die Bedingung
1/y´ = 0 , also gilt
B x - y + E = 0 ; das ist die Gleichung einer Geraden
g2,welche die Punkte P3 und P4 verbindet und somit
durch M geht.
Fazit: M ist der Schnittpunkt der Geraden g1,g2.
Die Koordinaten von M(u/v) ergeben sich nach
einer leichten Rechnung zu :
u = - E*B / (B^2 + 1) , v = - E / (B^2 + 1)……………..(3)
Wir lösen diese Gleichungen nach B und E auf;
es kommt:
B = - u / v , E = (u^2+v^2)/v…………………………….(4)
Dies setzen wir zusammen mit (2) in (1) ein;
nach einer kurzen Umformung erhalten wir als
Gleichung der Ortskurve des Mittelpunktes M(u/v):
u^2 + v^2 – 30 u + 16 v = 0
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Dies ist die Gleichung eines Kreises k
Durch quadratische Ergänzung finden wir den
Mittelpunkt Z und den Radius r von k:
( u – 15) ^ 2 + ( v + 8) ^ 2 = 289 , also
Z (15 / - 8 ) , r = 17.
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Wir wählen als numerisches Beispiel eine
Hyperbel aus:
Sei B = - 1 , daraus folgt nach (2) : E = 14.
Die Gleichung der Hyperbel lautet
x ^ 2 – 2 x y – y ^ 2 + 28 y = 0
Mittelpunkt M der Hyperbel :
u = 7 , v = 7 .
Es ist reizvoll, diese Hyperbel in einem
Koordinatensystem einigermassen exakt darzustellen
und den Kreis k einzuzeichnen, auf dem auch der
Mittelpunkt M(7/7) der ausgewählten Hyperbel liegt.
Alles hat seine Ordnung !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser ,megamath
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Reto Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 11:11: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Mit einiger Verspätung aber mit Nachdruck möchte ich dir
für deine lehrreichen Ausführungen bestens danken !
mfG
Reto
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