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Reto Sch.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 08:34: |
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Hallo, Mit der folgenden Aufgabe komme ich nicht zu Rande. Von einer Schar gleichseitiger Hyperbeln (Normalhyperbeln) geht jede durch den Punkt P(30/18) und berührt die x-Achse im Nullpunkt. Beweise, dass die Mittelpunkte solcher Hyperbeln auf einem Kreis liegen und bestimme den Mittelpunkt und den Radius dieses Kreises. Für jede Hilfe besten Dank zum voraus ! mfG Reto
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 15:22: |
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Hi Reto, Vorbemerkung bezüglich der Nomenklatur: Bei einer gleichseitigen Hyperbel stimmen die beiden Halbachsen überein. Da die Asymptoten einer solchen Hyperbel senkrecht aufeinander stehen, also „normal“ sind , liegt zugleich eine so genannte Normalhyperbel vor. Für die Gleichung der Hyperbel setzen wir die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts an, welche bekanntlich so lautet: A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x +2 E y + F = 0 Wir setzen (Normierung) A = 1, F = 0 (die Kurve geht durch den Nullpunkt O), C = - A = -1 (es liegt eine gleichseitige Hyperbel vor) Berührung der x-Achse im Nullpunkt : x = 0 ist eine doppelte Nullstelle der Gleichung, die für y = 0 entsteht: x^2 + 2 D x = 0 ; es muss D = 0 gelten. Der langen Rede kurzer Sinn ist der : x ^ 2 + 2 B x y - y ^ 2 + 2 E y = 0 ……………………… (1) kann als Gleichung der gesuchten Hyperbel gelten. Eine Beziehung zwischen den übrig bleibenden Koeffizienten B und E entsteht durch die Forderung, dass die Hyperbel durch den gegebenen Punkt P(30/18) gehen muss. Umsetzung dieser Bedingung: 900 + 1080 B – 324 + 36 E = 0 oder E = - 16 – 30 B.......................................................................(2) Wir ermitteln den Mittelpunkt M (u /v) der Hyperbel auf folgende Art. Die Gleichung (1) wird implizit nach x abgeleitet: 2 x + 2 B y + 2 B x y ´ - 2 y y ´ + 2 E y ´ = 0 Auflösung nach y ´ : y ´ = - [ x +B y ] / [ B x - y + E ] Es gibt 2 Punkte P1, P2 auf der Hyperbel, in denen die Tangenten parallel zur x-Achse sind Diese Punkte sind charakterisiert durch die Bedingung y´ = 0 , also gilt x + B y = 0 ; das ist die Gleichung einer Geraden g1, welche die Punkte P1 und P2 verbindet und somit durch M geht. Es gibt 2 Punkte P3, P4 auf der Hyperbel, in denen die Tangenten parallel zur y-Achse sind Diese Punkte sind charakterisiert durch die Bedingung 1/y´ = 0 , also gilt B x - y + E = 0 ; das ist die Gleichung einer Geraden g2,welche die Punkte P3 und P4 verbindet und somit durch M geht. Fazit: M ist der Schnittpunkt der Geraden g1,g2. Die Koordinaten von M(u/v) ergeben sich nach einer leichten Rechnung zu : u = - E*B / (B^2 + 1) , v = - E / (B^2 + 1)……………..(3) Wir lösen diese Gleichungen nach B und E auf; es kommt: B = - u / v , E = (u^2+v^2)/v…………………………….(4) Dies setzen wir zusammen mit (2) in (1) ein; nach einer kurzen Umformung erhalten wir als Gleichung der Ortskurve des Mittelpunktes M(u/v): u^2 + v^2 – 30 u + 16 v = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Dies ist die Gleichung eines Kreises k Durch quadratische Ergänzung finden wir den Mittelpunkt Z und den Radius r von k: ( u – 15) ^ 2 + ( v + 8) ^ 2 = 289 , also Z (15 / - 8 ) , r = 17. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Wir wählen als numerisches Beispiel eine Hyperbel aus: Sei B = - 1 , daraus folgt nach (2) : E = 14. Die Gleichung der Hyperbel lautet x ^ 2 – 2 x y – y ^ 2 + 28 y = 0 Mittelpunkt M der Hyperbel : u = 7 , v = 7 . Es ist reizvoll, diese Hyperbel in einem Koordinatensystem einigermassen exakt darzustellen und den Kreis k einzuzeichnen, auf dem auch der Mittelpunkt M(7/7) der ausgewählten Hyperbel liegt. Alles hat seine Ordnung ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser ,megamath
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Reto Sch.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 11:11: |
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Hallo H.R.Moser,megamath, Mit einiger Verspätung aber mit Nachdruck möchte ich dir für deine lehrreichen Ausführungen bestens danken ! mfG Reto
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