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Jenny
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 12:56: | 
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Hallo
Ich benötige Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe.
Man bestimme den Realteil der komplexen Zahl
z = i ^ ln(1+i).
Vielen Dank im voraus !
MfG
Jenny
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 13:58: |
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Hi Jenny,
Vorbemerkung: Da der Logarithmus eine unendlich
vieldeutige Funktion ist, treffen wir bei der Lösung Deiner
Aufgabe die Vereinbarung, dass wir mit dem so genannten
Hauptwert des Logarithmus operieren.
Wir formen um:
z = i ^ ln(1+i) = ( e ^ ln i ) ^ ln(1+i) = e ^{ln(1+i)*ln i}……(1)
ferner gilt bekanntlich:
ln (a + ib) = ln R + i A mit R = wurzel (a^2+b^2) ,
A = arc tan (b/a), somit:
ln (1 + i) = ln {wurzel (2)} + i Pi/4…………………………(2)
ferner:
ln i = ln {e^ (i * Pi/2)} = i Pi / 2…………………………….(2°)
Nun berechnen wir das Produkt p im Exponent von (1)
p = ln(1+i) * ln i = [ ln {wurzel (2)} + i * Pi/4 ] * i Pi/2……(3)
Löst man die eckige Klammer, so kommt wegen
ln{wurzel(2)}= ½ * ln (2)
p = - Pi^2 / 8 + i Pi / 4 ln (2)………………………………..(4)
Jetzt kann z und damit auch der Realteil Re(z) leicht
berechnet werden:
z = e ^ [- Pi^2 / 8 + i Pi/4 * ln (2) =
e^(-Pi^2 / 8 ) [ cos { Pi/4*ln (2) } + i sin{Pi/4*ln (2) } ]
Schlussresultat:
Re(z) = e ^ (- Pi ^ 2 / 8 ) * cos { Pi / 4*ln (2) }
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MfG
H.R.Moser,megamath
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Jenny
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 08:23: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Besten Dank für Deine vorbildliche Lösung
meiner Aufgabe !
MfG
Jenny
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