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Jenny
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 12:56: |
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Hallo Ich benötige Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe. Man bestimme den Realteil der komplexen Zahl z = i ^ ln(1+i). Vielen Dank im voraus ! MfG Jenny
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 13:58: |
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Hi Jenny, Vorbemerkung: Da der Logarithmus eine unendlich vieldeutige Funktion ist, treffen wir bei der Lösung Deiner Aufgabe die Vereinbarung, dass wir mit dem so genannten Hauptwert des Logarithmus operieren. Wir formen um: z = i ^ ln(1+i) = ( e ^ ln i ) ^ ln(1+i) = e ^{ln(1+i)*ln i}……(1) ferner gilt bekanntlich: ln (a + ib) = ln R + i A mit R = wurzel (a^2+b^2) , A = arc tan (b/a), somit: ln (1 + i) = ln {wurzel (2)} + i Pi/4…………………………(2) ferner: ln i = ln {e^ (i * Pi/2)} = i Pi / 2…………………………….(2°) Nun berechnen wir das Produkt p im Exponent von (1) p = ln(1+i) * ln i = [ ln {wurzel (2)} + i * Pi/4 ] * i Pi/2……(3) Löst man die eckige Klammer, so kommt wegen ln{wurzel(2)}= ½ * ln (2) p = - Pi^2 / 8 + i Pi / 4 ln (2)………………………………..(4) Jetzt kann z und damit auch der Realteil Re(z) leicht berechnet werden: z = e ^ [- Pi^2 / 8 + i Pi/4 * ln (2) = e^(-Pi^2 / 8 ) [ cos { Pi/4*ln (2) } + i sin{Pi/4*ln (2) } ] Schlussresultat: Re(z) = e ^ (- Pi ^ 2 / 8 ) * cos { Pi / 4*ln (2) } °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath
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Jenny
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 08:23: |
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Hallo H.R.Moser,megamath Besten Dank für Deine vorbildliche Lösung meiner Aufgabe ! MfG Jenny
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