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Beitrag |
    
Mel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Oktober, 2000 - 10:09: | 
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Hallo,
also ich habe hier eine ABI-Übungs-Aufgabe, die ich zu Vergleichszwecken, um meine Ergebnisse zu überprüfen, gerne von euch gelöst hätte.
Gegeben ist die Funktion f(x)= arcsin(2x-1)mit max. Definitionsbereich D.
1. Nullstellen, Monotonie, Extrema, Wendepunkte,
Symmetrie und Randverhalten
2. Zeigen, dass die Funktion umkehrbar ist
Es wäre echt toll, wenn ihr mir hierbei helfen könntet, bei meinen Ergebnissen bin ich mir nämlich nie so ganz sicher, denn bevor ich das richtige Ergebnis nicht kenne,gehe ich immer davon aus,dass meine Rechnung falsch ist.
Bye Mel |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Oktober, 2000 - 21:09: |
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Hallo Mel,
f(x)=arcsin(2x-1)
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Definitionsbereich
arcsin(u) hat D: [-1; 1]
-1£ 2x-1 £ 1
0 £ x £ 1
oder: D= [0; 1]
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Nullstellen
arcsin(2x-1)=0
wenn man's nicht auswendig weiß, dann:
sin(arcsin(2x-1)) = sin(0)
2x-1 = 0
x = ½
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Monotonie
f'(x)=2/W(1-(2x-1)²) = 1/W(x-x²)
Dieser Term ist für x aus D immer positiv außer für
x=0 und x=1 hier geht f'(x)-> oo daher vertikale Tangenten.
f(x) ist daher streng monoton steigend.
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Extrema
Da f'(x) nirgens Null ist: keine lokalen Extrema vorhanden.
Globale Extrema für x=0, f(0)=-p/2
und für x=1, f(1)=+p/2
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Wendepunte
f"(x)=(1-2x)/[2W(x-x²)]
Null setzen:
1-2x = 0
x= ½
f(½)=0
Wendepunkt: (½; 0)
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Randverhalten
Siehe oben: Vertikale Tangenten für x=0 und x=1
und globale Extrema.
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Symmetrie:
Punktsymmetrisch in Bezug auf Punkt (½; 0), weil:
Bedingung für Punktsymmetrie in Bezug auf einen Punkt S = (a;b):
f(2a-x)=2b-f(x)
also in unserem Fall:
f(2*½-x)=2*0-f(x)
f(1-x)=-f(x)
f(2-2x-1)=-f(2x-1)
f(-2x+1)=-f(2x-1) diese Bedingung ist erfüllt weil:
arcsin(-u) = -arcsin(u)
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Umkehrbarkeit
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar!
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Anmerkung: Wir haben nur den Wertebereich [-p/2;+p/2]
betrachtet. Dies ist der sogenannte Hauptbereich.
Andere Wertebereiche können ebenso betrachtet werden.
Diese sind jeweils:
kp-p/2 £ y £ kp+p/2
mit k=...-3,-2,-1,0,1,2,3...
Achtung: aber immer nur jeweils einen Bereich, sonst ist arcsin(u) keine Funktion mehr!
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