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Beitrag |
    
Thomas Richter (Mac99)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Oktober, 2000 - 12:19: | 
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HI! Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen???
Die Geraden g und h sind durch die folgende Gleichungen gegeben:
g: x=(1;a;2)+t(b;3;4) ; h: x=(c;0;3)+s(3;1;d)
(a,b,c,d Element R).
Unter welchen Voraussetzungen über die Werte von a,b,c,d in den Gleichungen von g und h gilt:
a) g ist parallel zu h
b) g=h
c) g schneidet h |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 05:32: |
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Hi Thomas,
a) Die Richtungsvektoren u = {b;3;4}und v = {3;1;d}
der Geraden g und h müssen kollinear sein;
aus der Proportion b : 3 = 3 : 1 = 4 : d folgt sofort :
b = 9 , d = 4 / 3.
b) ausser der Bedingung unter a müssen Bedingungen
für a und c erfüllt sein.
Wir verlangen, dass der Punkt H (c / 0 / 3 ) von h auf g liegt,
diese conditio sine qua non lautet
(der Wert b= 9 in der Gleichung von h wir verwertet) :
c = 1 + 9 * t , 0 = a + 3 * t , 3 = 2 + 4 * t.
Daraus: ( t = ¼ ) , c = 13 / 4 , a = - 3 / 4 .
c) Es gibt mehrere Methoden, diese Aufgabe zu lösen
Wir wählen die Methode mit dem Vektorprodukt p der
Richtungsvektoren u und v
p stellt einen Normalenvektor der Ebene E dar,in der
die sich schneidenden Geraden g und h liegen.
Dabei nehmen wir an , dass diese Geraden eine Ebene
aufspannen und die Bedingung unter a) nicht erfüllt ist
Die Koordinaten des Vektorproduktes sind schnell berechnet:
p = {3 d - 4 ; 12 - b * d ; b - 9 }
Eine Koordinatengleichung von E lautet:
(3 d-4 ) x +(12 - b d) y +( b - 9 ) z = D (konst.)
Der Punkt G(1/a/2) von G lieht auf dieser Ebene ,also:
(3 d - 4 )*1 +( 12 - b d) * a + ( b -9 ) * 2 = D..............(Gl I)
Der Punkt H (c/0/3) von h liegt auf E ,also:
(3 d - 4 )* c + ( 12 -b d ) * 0 + ( b - 9) * 3 = D.............(Gl II)
Setzt man die linken Seiten der Gleichungen I und II einander
gleich,so erhält man die gesuchte Bedingung:
a * b * d + 3 c * d - 12 * a + b - 4 * c - 3 * d - 5 = 0
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 09:23: |
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Hi Thomas,
Die Teilaufgabe c) lässt sich auch ohne Benützung
des Vektorproduktes lösen, indem man gleichnamige
Koordinaten aus den Parametergleichungen für g und h
einander gleichsetzt .
Gleichsetzung der x- Koordinaten führt auf:
1 + t * b = c + 3 * s
Gleichsetzung der y-Koordinaten ergibt:
a + 3 * t = 0 + s.
Aus diesen Gleichungen berechnen wir die Parameterwerte
t und s:
t = ( 1 - c - 3 * a) / ( 9 - b ) für b ungleich null ,
s = (3 - 3 c - a * b) / ( 9 - b)
Diese Werte setzen wir in die Gleichung ein, welche
aus der Gleichsetzung der z-Werte entsteht ,d.h. in die
Gleichung:
2 + 4* t = 3 + s * d.
Schafft man die Brüche weg und vereinfacht, so entsteht wiederum die Bedingung:
a * b * d +3 * c* d -12 * a + b - 4 * c -3 * d - 5 = 0.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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