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verena
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 13:28: | 
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hi,
ich habe eine große bitte: kann mir bitte wer bei untriger aufgabe helfen?
drei unabhängige zufallsvariablen X1, X2, X3 haben die verteilungsfunktion G1, G2, G3.
man gebe die verteilungsfunktion folgender zufallsvariablen an:
(a) max (X1, min (X2, X3))
(b) min (X1 + X2, X3)
danke für eure mühe schon mal im voraus!
tschüß
verena |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 21:12: |
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a) Sei X=Max(X1,X2, X3) damit das Maximum von 3 Werten kleiner als x ist, müssen alle 3 Werte kleiner als x sein.
Sei F die Verteilungsfunktion von X, seien G1, G2, G3 die Verteilungsfunktionen von X1, X2 bzw. X3
F(x):=P(X<=x)=P(X1<=x,X2<=x, X3<=x)( nach Definition des Maximums )
= P(X1<=x)*P(X2<=x)*P(X3<=x) (da X1, X2 und X3 stochastisch unabhängig sind )
= G1(x)*G2(x)*G3(x) ( nach Definition der Verteilungsfunktionen G1, G2 und G3 )
( Für b) bin ich leider zu müde ) |
verena
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 23:08: |
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es tut mir leid, aber irgendwie verstehe ich deine erklärung nicht so ganz.
könntest du mir bitte das nocheinmal erklären?
cu
verena |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 12:07: |
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Armin war ja auch schon müde und hat das "min" übersehen.
Wenn A eine Zufallsvariable ist, dann ist die Verteilungsfunktion
FA(x) = W'keit(A <= x).
und es gilt
1 - FA(x) = W'keit(A > x).
Es ist
min(X2,X3) <= x
<=>
X2 <= x oder X3 <= x
<=>
nicht( X2 > x und X3 > x)
<=>
nicht( (nicht X2 <= x) und (nicht X3 <= x))
Also
Fmin(X2,X3)(x) = 1 - (1 - FX2(x)) * (1- FX3(x))
Für unabhängige Zufallsvariablen A, B ist
max(A,B) <= x
<=>
A <= x und B <= x
also
Fmax(A,B)(x) = FA(x) * FB(x)
Somit
Fmax(X1,min(X2,X3))(x) = FX1(x))(1 - (1 - FX2(x)) * (1- FX3(x))) |
verena
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 14:12: |
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hi zaph!
könntest du bitte mein ergebnis für (b) überprüfen?
Fmin(x1+x2,x3)=1-(1-(Fx1(x)+Fx2(x))*(1-Fx3(x))
herzlichen dank,
verena |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 14:49: |
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Hi Verena, das ist mit Sicherheit falsch, denn es gilt nicht
FX1+X2 = FX1 + FX2
FX1+X2 kann man glaube ich nur mit einem Integral darstellen. Ich weiß nicht, ob ich dir das zumuten kann. |
verena
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 16:15: |
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kannst du es mir bitte zeigen, wie das geht mit dem integral .... wäre total lieb von dir!!!
bitte, bitte!!!!
verena |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 23:14: |
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Hi Verena! So wie ich das sehe, braucht man als zusätzliche Voraussetzung, dass eine der beiden Zufallsvariablen X1 oder X2 eine "Dichte" besitzt, d. h. dass FX1(x) oder FX2(x) differenzierbar ist. Wenn z. B. von FX1 die Ableitung existiert, dann ist
FX1+X2(x) = ò-oo oo FX1'(t) FX1(x-t) dt
Leider weiß ich jetzt nicht, wie ich dir das plausibel und einfach erklären kann. Auch weiß ich nicht, ob es eine Formel für FX1+X2(x) gibt, wenn keine der beiden Verteilungsfunktionen eine Ableitung besitzt. |
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