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Beitrag |
    
Cyber Girl (Bellavista)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 12:39: | 
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Wie rechnet man die Aufgabe: f(x)=x³;g(x)0x+1;I=[-1;1]?
Und: f(x)=x³-x;g(x)=-x³+x²?
Wer hilft mir? |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 16:09: |
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Hallo Cyber Girl, daß mußt Du tun ( Vorgehensweise ist bei beiden Aufgaben identisch)
1. definiere h(x)=f(x)-g(x)
2. suche die Nullstellen von h
im Intervall [-1;1],
dies sind nämlich die x - Werte der Schnittpunkte von f und g
3.Berechne dann die Integrale von -1 bis zur kleinsten Nullstelle von h, anschließend das Integral von der kleinsten Nullstelle von h bis zur nächstgrößeren u.s.w.
schließlich das Integral von der größten Nullstelle von h im Intervall [-1;1] bis 1.
4. Addiere den Betrag der Werte der einzelnen Integrale
5. Das Resultat ist die gesuchte Fläche. Du addierst deswegen den Betrag der Integrale, weil Flächen immer nichtnegativ sind. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 16:23: |
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Die Fläche zwischen zwei Graphen von f(x) und g(x) ergibt sich aus dem Integral über ihre Differenzfunktion f(x) - g(x), wobei zu beachten ist, dass Flächen, die dann unterhalb der x-Achse liegen, negativ gewertet werden.
Am besten am Beispiel deiner Aufgaben:
f(x) - g(x) = x³ - (x+1) = x³ - x - 1
ò (f(x) - g(x))dx = ò (x³ - x - 1)dx
= [1/4 x4 - 1/2 x2 - x]
Jetzt hast du durch das Intervall I die Grenzen vorgegeben, beachte aber trotzdem, dass die Funktionsgraphen sich innerhalb dieses Intervalls schneiden können: das kriegst du durch Gleichsetzen beider raus:
f(x) = g(x) | - g(x)
(*): f(x) - g(x) = 0, hier steht also wieder die Differenzfunktion f(x) - g(x), deren Nullstellen jetzt gefragt sind,
also löst du die Gleichung x³ - x - 1 = 0 nach x auf.
Ich habe es numerisch gemacht und eine Nullstelle zu etwa 1.324717957... erhalten, ich würde sagen, bei euch reicht es, wenn ihr durch Zeichnen der Graphen zeigt, dass sich die Funktionsgraphen auf dem Intervall [-1;1] nicht schneiden (g(x) = x+1 verläuft dort "oberhalb" von f(x) = x³), dann hast du keine Schnittpunkte und musst demnach auch nicht berücksichtigen, dass der Graph der Differenzfunktion teilweise unterhalb der x-Achse verliefe (Die Schnittpunkte der Funktionsgraphen entsprächen ja den Nullstellen der Differenzfunktion, siehe Gl. (*)).
Also ergibt sich der Flächeninhalt aus dem Integral (ich glaube, manche Browser stellen die Grenzen schlecht dar, sie lauten hier "von minus eins bis eins")
ò-1 1(x³ - x - 1)dx =
= [1/4 x4 - 1/2 x2 - x]-11
= [1/4*14 - 1/2*12 - 1] - [1/4*(-1)4 - 1/2*(-1)2 - (-1)]
= -2
Jetzt drehst du einfach das Vorzeichen um, das negative Ergebnis kommt daher, dass das (auf dem Intervall [-1;1]) größere g(x) vom kleineren f(x) abgezogen wurde.
Bei der zweiten Aufgabe weiß ich jetzt nicht, ob dasselbe Intervall gelten soll oder ob du jetzt ohne Intervallgrenzen rechnen sollst, falls keine Intervall gegeben ist, kannst du das dann nach dem oben beschriebenen Verfahren machen:
erst die Nullstellen von f(x) - g(x) = 2x³ - x² + x ausrechnen, dann abschnittsweise integrieren
Zur Kontrolle gebe ich die Nullstellen vor:
-1/2, 0, 1
so dass dann integriert werden muss:
einmal ò-1/2 0(2x³ - x² + x)dx (Grenzen von minus einhalb bis null)
und das andere Mal ò0 1(2x³ - x² + x)dx (Grenzen von null bis eins)
wobei jetzt zu beachten ist, dass die Beträge gebildet werden müssen, das heißt, falls bei einem was negatives rauskommt, drehe das Vorzeichen um, so dass du für die von den Graphen von f und g eingeschlossene Gesamtfläche zwei positive Werte addierst.
Wenn noch Rückfragen sind, einfach nochmal melden. |
susi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 13:32: |
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wer kann mir helfen diese aufgaben zu lösen ?
f(x)=-x^2+2 ; f(x)=x^2 ; f(x)=x^4+1
die frage ist : wie groß ist der flächeninhalt der fläche die von beiden graphen eingeschlossen ist ?
danke |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 17:10: |
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Hallo susi,
von welchen beiden? |
susi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 20:35: |
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hallo fern
ich habe leider keine ahnung die aufgabe steht so im buch |
Ralf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 22:41: |
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wirklich wortwörtlich so im Buch?
Das ist ja wie:
"Addiere die beiden Zahlen
Zahlen: 1,3,5" |
susi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 11:58: |
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hallo ralf
die aufgabe steht wirklich so im buch |
Kai
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 23:18: |
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Dann ist da ein Druckfehler im Buch! |
susi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 14:53: |
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brauche ganz dringent hilfe bei diesen aufgaben
a) f(x)=x^2 g(x)=7x-12
b) f(x)=2x+3 g(x)=x^2
f) f(x)=5x g(x)=x^2
g) f(x)=x^3 g(x)=7x-6
und zwar brauche ich den flächeninhalt der von beiden graphen eingeschlossen ist
danke |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 05:58: |
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Als erstes musst du Punkte finden, die die jeweiligen Graphen beide haben. Dafür setzt du die Gleichungen gleich (f(x)=g(x)). Danach musst du das Integral aus g(x)-f(x) in den Grenzen a und b berechnen. a und b sind die x- Koordinaten der gemeinsamen Punkte der beiden Funktionen. |
susi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 11:43: |
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hallo robert
so weit bin ich auch schon gekommen aber ich scheitere schon daran den integral zu finden |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 15:07: |
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also, zu ...:
a) Integralgrenzen rausfinden:
f(x) = g(x)
<=> x^2=7x-12
<=> x^2-7x+12 = 0 (Satz von Vieta)
<=> (x-3)*(x-4)=0
<=> x=3 und x=4
dann bekommt man das Integral zwischen 3 und 4!
Die Fläche ist dann der Betrag (Fläche kann nur positiv sein) aus dem Integral
[I] soll Integral sein!
Betragsstriche bekomm ich nicht hin, musst du dir also dazudenken...
4 2
[I]((7·x - 12) - x ) dx
3
4 2
=[I] -x + 7x - 12 dx
3
= -1/3x^3+7/2x^2-12x (Grenzen 3 bis 4)
=(-1/3*4^3+7/2*4^2-12*4)- (-1/3*3^3+7/2*3^2-12*3)
=1/6
Bei b) und f) sind die Rechnungsschritte identisch!
Die Grenzen sind bei
b) -1 und 3 [ (x-4)(x-3)=0 ]
f) 0 und 5 [ x(x-5) =0 ]
Bei g) bekommt man drei Punkte!
[x = 1, x = 2, x = -3]
Dann musst du die Integrale [I]g(x)-f(x) dx
einmal zwischen -3 und 1 UND einmal zwischen 1 und 2 ausrechnen...
Die Rechnungsschritte sind dann aber wie bei der ausführlich vorgestellten Aufgabe a)
So, ich hoffe, dass hilft dir!? |
Sven
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 14:12: |
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Hi Cyber Girl!
Hier ist die Lösung für deine erste Aufgabe:
f(x)=x^3 ; g(x)=1
A = 2 * Integral(0;1)(1-x^3)dx
= 2 * [x-1/4x^4](0;1)
= 2 * (1-1/4)
= 2 * 3/4
= 1,5 |
Sven
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 14:14: |
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Ups, hab gedacht, die Beiträge wären in anderer Reihenfolge! |
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