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Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 17:25: | 
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Ich bräuchte nur mal einen kleinen Beweis, um mir die Additionstheoreme herzuleiten.
Wie kann ich diese Beziehung beweisen:
e^(i*(x+y))=e^(ix)*e^(iy)
Danach geht das ja mit der Eulerformel alles ganz einfach ;)
Vielen Dank schonmal
MfG
C. Schmidt |
Ulrich
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 20:43: |
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ist zwar kein richtiger Beweis, aber vielleicht hilft es weiter:
e^(i*x) = cos(x)+i*sin(x)
e^(i*x)*e^(i*y) =[cos(x)+i*sin(x)]*[cos(y)+i*sin(y)]
=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) +i*[cos(x)*sin(y)+cos(y)*sin(x)]
=cos(x+y)+i*sin(x+y) (additionstheorem: cos,sin)
=e^(i*(x+y))
mfg
Ulrich |
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 21:11: |
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Hi Ulrich
Das war eigentlich nicht meine Frage;)
Denn den Teil hatte ich ja auch schon bewiesen. Mir ging es nur darum das Potenzgesetz zu beweisen ;)
Aber trotzdem danke
MfG
C. Schmidt |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 21:31: |
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Hallo Christian
meinst du vielleicht diese Umformung mit Hilfe der Potenzgesetze
e(i*(x+y))
=e(ix+iy)
=e(ix)*e(iy)
Wohl eher nicht, wäre zu einfach.
Mfg K. |
Christian
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 06:43: |
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Diese Formel ist eine der Formeln von De Moivre:
e^(i*(x+y))=e^(ix)*e^(iy)
In einem Buch von mir beweisen die die richtigkeit dieser Gleichung mit den Additionstheoremen. Die setzen also die Additionstheoreme als richtig voraus, oder haben sie anders bewiesen, und beweisen damit obige Formel.
Ich will das aber genau andersherum machen. D.h. die Formel von De Moivre beweisen und damit die Additionstheoreme herleiten;)
MfG
C. Schmidt |
Christian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 19:27: |
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Ich hab mich mal umgeschaut und einen Beweis der Beziehung e^(x+y)=e^x*e^y gefunden.
Das wird hier mit dem Cauchy-Produkt gemacht:
(Soo k=0 ak)*(Soo k=0 bk)=Soo n=0 a((Sn k=0 ak*b(n-k)))
So jetzt zu obiger Beziehung:
e^x*e^y
=(Soo k=0 x^k/k!)((Soo k=0 y^k/k!)
=Soo n=0(Sn k=0 (x^k*y^(n-k)/(k!(n-k)!))
=Soo n=0 1/n!(Sn k=0 (n über k)*x^k*y^(n-k))
=(Soo n=0 (x+y)^n/n!)=e^(x+y)
Ehrlich gesagt habe ich das nicht alles verstanden. Besonders nicht wie man auf die Produktformel kommt.
Über eine Erklärung wäre ich sehr dankbar und mich würde auch interessieren wie man das mit e^(ix) usw macht.
MfG
C. Schmidt |
N.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 18:50: |
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Hi Christian,
e^(i*(x+y))=cos(x+y)+i*sin(x+y)
e^(ix)=cos(x)=cos(x)+i*sin(x)
e^(iy)=cos(y)=cos(y)+i*sin(y)
Nun gilt e^(i*(x+y))=e^(ix)*e^(iy)
Ausmultiplizieren und "koeffizientenvergleich" ergibt Additionstheorem.
Gruß N. |
Christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 13:30: |
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Hi N.
"Nun gilt e^(i*(x+y))=e^(ix)*e^(iy)"
Das soll ja gerade bewiesen werden;)
MfG
C. Schmidt |
