Thema Letzter Beitrag Beiträge Seiten Datum Archivieren bis zum 09. Februar 2002 Christian 8  1  09. 02. 02  13:30

Autor Beitrag   N. Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 17:53:    Hi christian, Ich weis nicht was du willst... Entweder die Relation e^(i*(x+y))=e^(ix)*e^(iy) oder die Additionstheoreme.... Ich hatte dich so verstanden das du mit de Moivre Laplace die Additionstheoreme beweisen möchtest. Oder muß ich deine Frage so interpretieren das du erst de Moivre Laplace beweisen möchtest aber den beweis ohne Additionstheorem beweisen möchtest. sollte letzteres zutreffen würde ich dir wirklich empfelen die Additionstheoreme elementargeometrisch zu beweisen-das ist simpel und dann damit obere Relation-(wie dein Buch) Warum soll man sich das Leben schwer machen wenn es auch einfach geht! Oder kannst du nur nicht die Additionstheoreme beweisen? Gruß N.   Xell Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 18:04:    Hi Christian, Vielleicht solltest du eine Umkehrfunktion zu e^x, namens ln(x) definieren, diese anwenden auf beide Seiten der Gleichung. Dann ergibt sich i*(x+y) = ix + iy, was sich vielleicht mit dem Distributivgesetz für die komplexen Zahlen "erschlagen" ließe. Ist nur ein Vorschlag von einem Unwissenden . Grüße, Xell   Christian Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 18:05:    Hi N. "Oder muß ich deine Frage so interpretieren das du erst de Moivre Laplace beweisen möchtest aber den beweis ohne Additionstheorem beweisen möchtest." So war das eigentlich gemeint ;) Aber das scheint wohl doch schwieriger zu sein als ich gedacht hatte. Falls aber einer weiss wie das geht, kann ers hier ja mal posten;) MfG C. Schmidt   Christian Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 18:11:    Hi Xell Die Idee finde ich eigentlich recht interessant;) Ob man das so beweisen darf weiss ich allerdings auch nicht ;) MfG C. Schmidt   Christian Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 18:18:    Hmm, ich befürchte mir ist da doch ein Fehler aufgefallen ;( Wenn man den Logarithmus verwendet, muss man ein Logarithmengesetz anwenden(ln(ab)=lna+lnb) und das folgt doch eigentlich aus dem Potenzgesetz, das zu beweisen ist;) MfG C. Schmidt   N. Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 20:29:    Hi Christian, Ich würde den vorschlag von Xell auch nicht gerade als Beweis bezeichnen... Im Grunde ist das nur eine ganz billige Umformung: e^(i(x+y)=e^(ix)*e^(iy)..|ln i(x+y)=ix+iy ix+iy=ix+iy natürlich ist diese Aussage richtig! Aber die Aktion mit dem Additionstheoremen entspricht eher einem Beweis. Gruß N.   Christian Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 00:21:    Auch wenn es schwierig ist die de Moivre Formel zu beweisen ohne die Additionstheoreme zu benutzen, würde es mich trotzdem interessieren und ich denke, dass der Ansatz mit der Cauchy-Produkt-Formel gar nicht schlecht ist. Wenn man nämlich statt x^k (ix)^k einsetzt hat man ja im Prinzip die De Moivre Formel bewiesen;9 Aber ob man das machen darf..... Naja, vielleicht schaut ja mal der allwissende Megamath vorbei und beantwortet alle Fragen ;) MfG C. Schmidt   N. Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 13:58:    Hallo Christan, so, ich habe jetzt den Beweis verstanden und damit du ihn auch verstehst werde ich dir ihn erklären: wir brauchen folgende 3 Vorraussetzungen: 1] Das Cauchy-Produkt (S¥ i=0 ai)*(S¥ k=0 bk)=S¥ n=0(Sn i=0 ai*bn-i) 2]e-Funktion S¥ k=0 x^k/k!=e^x S¥ k=0 y^k/k!=e^y 3]Binominalkoeffizient und Binomischer Satz (n über k)=[n*(n-1)*(n-2)...*(n-(k-1)]/[1*2*3..*k]=n!/k!*(n-k)! Sn k=0 (n über k)*an-k*bk=(a+b)^n °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Die Ausführungen folgen später... Gruß N.   N. Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 15:03:    Hi Christian, Nun die erläuterungen: Vorab noch eine Bemerkung: Der Beweis per chauchy-Produkt gilt nur für die Aussage e^x*e^y=e^(x+y) !! Du darfst nicht einfach x durch ix oder y durch iy ersetzen weil dann Vorraussetzung 2 (e-Funktionen) nicht mehr stimmt!! °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° 1] Das Cauchy-Produkt ==================== Hinweis: Das Cauchy Produkt gilt nur für absolut konvergente Reihen ai bk. Die Reihe ai(bzw bk) wird absolut konvergent genannt wenn die Reihe ihrer Beträge konvergiert. D.h wenn gilt S¥ i=0 |ai| bzw S¥ k=0 |bk| konvergieren. Ist dies der Fall so darf man die beiden Reihen jeweils Gliedweise miteinander multiplizieren-Wie man ja auch Polynome miteinander multiplizieren kann. Nun betrachten wir das ausmultiplizieren im einzelnen. S¥ i=0 ai=a0+a1+a2+a3... S¥ k=0 bk=b0+b1+b2+b3... S¥ i=0 ai*S¥ k=0 bk= (a0+a1+a2+a3...)(b0+b1+b2+b3...) Was kommt da wohl raus? bis später Gruß N.   N. Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 17:19:    Hallo Christian, es folgt: Das Cauchy-Produkt(2.Teil) =============================== Soweit sind unsere Überlegungen gedigen. Schau dir nochmal das Teilproduktschema an! Das Schema besitzt in Jeder Zeile unendlich viele Glieder mit dem selben Faktor ai. Das Schema besitzt in Jeder Spalte unendlich viele Glieder, alle mit dem selben Faktor bk. Unter dem Produkt der beiden Reihen versteht man nun die Reihe S¥ n=0 Cn deren j-tes Glied cj die Summe der Teilprodukte die in der j-ten Schrägreihe stehen ist. Das heißt jedes Glied der Produktreihe Cn lässt sich wieder als Summe gewisser Teilprodukte berechnen. Die Summe der unendlich vielen Glider der Produktreihe lassen sich also als Summe gewisser Teilproduktsummen darstellen. Daher im Chauchy-Produkt die 2 Summenzeichen! ============================================== Soweit das also... Gruß N.   N. Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 18:22:    Hier nochmal das Bild: Gruß N.   N. Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 18:23:    Hier nochmal das Bild: Gruß N.   N. Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 18:28:    nochmal... Gruß N.   Christian Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Februar, 2002 - 13:35:    Hi N. Vielen Dank für deine Erklärungen. Hab das jetzt soweit verstanden. Um aber nochmal auf die anfängliche Frage zurückzukommen. Gibt es vielleicht irgendeine Möglichkeit e^(ix) als Summe darzustellen oder würde das zu schwer?? MfG C. Schmidt   Bart Unregistrierter Gast Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 19:37:    e^ix ist über eine Summe definiert! (über die Reihenentwicklung).

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