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Sonja
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 15:57: | 
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Es sind die Graphen einer Menge von Funktionen 3.Ordnung gegeben, die zum Ursprung punktsymmetrisch sind und durch den gemeinsamen Punkt P(2/4) verlaufen.
Ermittle den Funktionsterm zu demjenigen Graphen, dessen Wendetangente die Steigung 8/3 hat. Bestimme die Schnittpunkte dieses Graphen mit der x-Achse samt Tangentensteigung sowie Hoch - und Tiefpunkt. |
Julia
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 16:25: |
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Hi sonja!
Also: Ein Polynom dritten Grades, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kann nur die Form f(x) = a*x^3 + b*x haben (das ueberlegt man sich leicht). Dabei sind a und b noch unbestimmte Zahlen. Da die Funktionen aber alle durch den Punkt (2/4) gehen sollen, muss f(2) = 8a + 2b = 4 sein. Demnach ist b = 2-4a, und die Funktionenschart lautet (parametrisiert durch a)
fa(x) = a*x^3 + (2-4a)*x
Wir leiten diese Funktion zweimal ab, um die moeglichen Wendepunkte zu finden:
fa'(x) = 3ax^2 + (2-4a)
fa"(x) = 6ax
Die Wendepunkte muessen Nullstellen von der zweiten Ableitung sein, da kommt also nur die Null in Frage. Da die dritte Ableitung konstant 6a ist, handelt es sich auch wirklich um eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung fa'(0) = (2-4a), und die ist genau dann 8/3, wenn a = -1/6 ist. Also lautet unsere Funktion
f(x) = -1/6x^3 + (2-4*(-1/6))x = -1/6x^3 + 2/3 x
Die Ableitungen sind dann
f'(x) = -1/2 x^2 + 2/3
f"(x) = -x
Die Schnittstellen mit der x-Achse von f sind Null und die Nullstellen von f/x=-1/6x^2 + 2/3.
Diese sind 2 und -2. Also
Nullstellen: 0,2,-2
Die Tangentensteigungen sind die Werte der ersten Ableitung an den entsprechenden STellen, als
bei 0: f'(0) = 2/3
bei 2: f'(2) = -2 + 2/3
bei -2: f'(-2) = -2 + 2/3
Extrempunkte sind hoechstens da, wo die erste Ableitung verschwindet, also setze f'(x) =0 und finde die Nullstellen der Ableitung: 2/Wurzel(3), - 2/Wurzel(3).
Um festzustellen, ob es sich wirklich um Extrema handelt und welcher Art sie sind, ueberpruefen wir die Werte der zweiten Ableitung an diesen Stellen:
f"(2/Wurzel(3)) = -2/Wurzel(3) < 0 =>Maximum
f"(-2/Wurzel(3)) = 2/Wurzel(3) >0 =>Minimum
Hab ich jetzt noch was vergessen? Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet, also pruefe alles nach....
Julia |
Sonja
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 17:00: |
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Zweiter Teil dieser Aufgabenstellung:
Danke Julia, Du hast mir sehr geholfen!
Stelle nun den Term zu der Funktionsschar auf und wähle dabei als Parameter t die Steigung der Wendetangente.Weshalb muß t=2 ausgeschlossen werden? Für welche Werte von t erhält man außer dem Ursprung keine Weiteren Schnittpunkte der Graphen Gt mit der x-Achse? |
Julia
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 17:24: |
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Wir hatten eben a als Parameter und
fa(x) = ax^3 + (2-4a)x
Die Steigung t der Wendetangente ist dann, in a ausgedrueckt, fa'(0)=2-4a. Also t=2-4a oder, umgeformt, a=1/2-1/4*t. Also lautet unsere Funktionenschar, durch t parametrisiert:
ft(x) = ax^3 + (2-4a)x = (1/2-1/4*t)*x^3 + tx
Fuer t = 2 waere der Koeffizient von x^3 Null, also waere es kein Polynom dritten Grades mehr, deshalb will man t=2 ausschliessen.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind bei Null und den Nullstellen von (1/2-1/4*t)x^2 + t.
(1/2-1/4*t)x^2 + t = 0
<=> x^2 = -t/(1/2-1/4^t) = 4t/(t-2)
und dieses quadratische Polynom hat genau dann keine Nullstellen, wenn 4t/(t-2) <0 ist, also t<-2/3.
Wieder ist womoeglich irgendwo ein Rechenfehler.
Alles Gute
Julia |
Sonja
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 18:05: |
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Hi Julia!
Danke für Deine Hilfe.Habe den Fehler auch gefunden, Rechnung aber trotzdem erfolgreich gelöst.Melde mich bestimmt bald wieder.
Sonja |
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