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Joachim Damm (Joda)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 11:44: |
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Kniffliges und komplexes Problem: Gegeben sind drei Punkte A,B,C die eine Ebene beschreiben. Zusätzlich beschreiben die Punkte einen Kreis auf dieser Ebene. (Ich gehe davon aus das B auf der Kreisbahn zwische A und C liegt) Gesucht wird eine Funktion f(x) mit x aus [0,1], die folgende Punkte liefert. f(0) = A f(1) = C sonst: die Punkte im Raum, die auf der Kreisbahn zwischen A und C in der Ebene ABC verlaufen. Für Lösungen und Ansätze wäre ich dankbar. |
franz
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 21:43: |
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Zur Beschreibung der Punkte gehören drei (in der Ebene zwei) Koordinaten; das geht mit einer Funktion f allein nicht. Ich würde zuerst die zugehörige Ebene E bestimmen, in dieser Ebene die Kreismitte M. In dem Koordinatensystem mit M als Ursprung und A auf der x-Achse lassen sich die Kreispunkte in Polarkoordianten schreiben. r=MA, phi (f) als Parameter und wegen der Forderung f(1)=C; f(t)=t*Winkel(AMC). Für die Darstellung im ursprünglichen System müßte eine mehrstufige Koordinaten-Rücktransformation erfolgen. (Vielleicht läßt sich der Aufwand verringern bei Kenntnis weiterer Zusammenhänge.) F. |
Joachim Damm (Joda)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 09:12: |
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Sorry, Vielleicht hätte man sagen sollen, daß die Punkte A,B und C Tripel sein sollen ;-) Weitere Details: Die Punkte A,B und C sind für jedes f(x) fix. Vielleicht besser als f_ABC(x) formuliert. Das Intervall [0,1] habe ich nur aus Gründen einer Normierung gewählt. Genau das Problem mit der Koordinatentransformation bereitet mir Kopfzerbrechen. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 10:04: |
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Hi Joachim, Wie schon Franz zu Recht bemerkte, benötigt die Lösung Deiner Aufgabe gewisse Vorbereitungen , die allerdings zum Teil aus Routineaufgaben der analytischen Geometrie des Raumes und der Vektorrechnung bestehen Die Schritte zur Lösung sind die folgenden : (1) Bestimmung der Koordinatengleichung der Ebene E, welche durch die Punkte A,B,C bestimmt ist. (2) Ermittlung des Mittelpunktes M(xo/yo/zo) und des Radius r des Kreises k , der durch A,B,C geht (k ist der Umkreis des Dreiecks ABC) (3) Berechnung der Koordinaten des Verbindungsvektors u = AM der Punkte A und M (4) Ermittlung eines Vektors v mit folgenden Eigenschaften: v hat denselben Betrag wie u, nämlich r v ist zu u senkrecht und zur Ebene E parallel. (5) Aufstellen der gesuchten Parametergleichung des Kreises k mit dem provisorischen Parameter s; diese lautet mit P(x/y/z) als laufendem Punkt auf k und den Koordinaten ux,uy,uz und vx,vy,vz der Vektoren u bezw. v x = xo + ux * cos (s) + vx * sin (s) y = yo + uy * cos (s) + vy * sin (s) z = zo + uz * cos (s) + vz * sin (s) (6) Justierung des Parameters : neuer Parameter t so, dass gilt für t = o erhält man den Punkt A, für t = 1 den Punkt B Dies geschieht durch eine einfache Transformation s = c*t mit einer noch zu bestimmenden Konstanten c In einer Fortsetzung dieser Arbeit werde ich, sofern Bedarf vorhanden ist, auf die einzelnen Punkte näher eingehen und das folgende Zahlenbeispiel vorrechnen . Gegeben : A ( 3 / 0 / 1 ), B ( 3 / 4 / - 3 ), C ( -1 / 2 / -1 ) Gesucht : Parameterdarstellung des Umkreises k des Dreiecks ABC Empfehlung: Man löse die Aufgabe Schritt für Schritt nach obiger Eselsbrücke, auch "pons asinorum" genannt. In Erwartung einer Rückmeldung grüsst inzwischen H.R.Moser,megamath. |
Joachim Damm (Joda)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 11:32: |
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Zunächst danke ! Klingt soweit plausibel. Vielleicht zur Historie dieses Problems. Ich spiel gerne mit 3D-Animationen und hätte gerne eine Funktion, die mir die Bahnkoordinaten eines Körpers X_t in einem normierten Zeitraum t aus [0,1] liefert, wobei A der Start-, C der End- und B ein Zwischenpunkt sein sollen. Der Weg ist mir nun deutlicher geworden. Läßt sich das Problem eventuell mit einer großen zusammengefaßten Matrix lösen ? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 15:16: |
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Hi Joachim, Zur Parameterdarstellung eines Kreises im Raum möchte ich noch einige Ergänzungen anbringen Es kann ja sein, dass man die Aufgabe zu Repetitionszwecken der Analytischen Geometrie und Vektorrechnung heranziehen möchte. Ich behalte die Numerierung meiner früheren Arbeit bei Zu (1) Um die Koordinatengleichung der Ebene E zu bekommen, ermittelt man am besten einen Normalenvektor n von E als Vektorprodukt der Vektoren AB und AC ( hier: Schreibweise ohne Vektorpfeile), und man erhält daraus die Koeffizienten von x , y , z in der Ebenengleichung ; dann sorgt man bei der Wahl des konstanten Gliedes, dass E durch einen der gegebenen Punkte geht. Zu (2) Man bestimmt die Mittelnormalebenen je zweier der Dreiecksseiten AB, BC , CA . Diese Ebenen bilden ein Ebenenbüschel (gemeinsame Schnittgerade s als sogenannte Achse des Büschels) Es genügt, zwei solche Ebenen mit wohlbekannten Methoden zum Schnitt zu bringen Der Durchstosspunkt von s mit E ergibt den Mittelpunkt Mo des gesuchten Kreises. Der Radius r stimmt mit den Abständen der Punkte Mo A, Mo B, Mo C überein ( Kontrollmöglichkeit ! ) Zu (3) Der Vektor u ergibt sich unmittelbar als Verbindungsvektor der Punkte A und Mo : u = A Mo Zu (4) Um den Vektor v zu erhalten, bestimmen wir zunächst das Vektorprodukt p = u x n von u und dem Vektor n der Ebenennormalen.. Dann strecken oder stauchen wir ihn zur Länge r: v = r * [1 / abs (p) ] * p . Nun lassen sich die drei Parametergleichungen mit s als Parameter gemäss meinen früheren Angaben aufstellen. Für das Erwähnte Zahlenbeispiel folgen die Resultate: Ebene E : y + z -1 = 0 Mittelpunkt M( 2 / 2 / -1 ) , Radius r = 3 Vektor u = A M = { 1 ; - 2 ; 2 } Vektor v = 1 / wurzel(2) * { - 4 ; -1 ; 1 } Gleichung des Kreises: x = 2 + cos ( s ) - 2 * wurzel (2) * sin ( s ) y = 2 - 2* cos ( s ) - wurzel (2) / 2 * sin ( s ) z = - 1 + 2* cos ( s ) + wurzel (2) / 2 * sin ( s ) Anmerkung Für s = 0 erhält man den Punkt A , für s ~ 3.821 den Punkt B Um B zu erhalten, muss die Gleichung 2 + cos(s) - 2 * wurzel (2) * sin(s) = 3 gelöst werden Wir bekommen: s = arc tan [ 4* wurzel(2) / 7 ] + Pi (!). Schlussbemerkung Sind die Vektoren u und v beliebige linear unabhängige Vektoren der Ebene E , so stellt die analoge Parametergleichung eine Ellipse dar, deren Mittelpunkt M ist; die Vektoren u und v stellen dann konjugierte Halbmesser dar. In diesem Falle sind u und v affine Bilder der senkrechten und Gleichlangen Vektoren u' und v' beim Kreis. Schluss der Vorführung ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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