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timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 15:18: | 
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tach leute, ich habe eine frage:
was meint man mit mengen mass null?
danke im vorraus, timo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 00:26: |
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Hi Timo, das ist überhaupt nicht einfach zu beantworten. Was für eine Vorbildung besitzt du? Ich nehme an, da du die Frage in der Rubrik "11-13. Klasse" gestellt hast, dass du Mathe-LK machst.
Wir beschränken uns mal auf IR. Hier sind ein paar Eigenschaften des Maßes einer Teilmenge von IR.
Also, ein Intervall (a,b), [a,b), (a,b] oder auch [a,b] hat das Maß b-a.
IR, (-oo,0] oder auch (a,oo) für jedes a hat das Maß unendlich.
Wenn A Teilmenge B, dann ist immer das Maß von A kleiner als das Maß von B.
Wenn also eine Teilmenge A von IR ein Intervall enthält, dann kann diese Menge A nicht das Maß Null besitzen.
Wenn A und B disjunkt sind, dann ist das Maß von A vereinigt B gleich dem Maß von A plus dem Maß von B.
Eine endliche Menge hat das Maß Null.
Die Menge der rationalen Zahlen hat das Maß Null.
Jede abzählbare Menge (wenn du weißt, was das ist) hat das Maß Null.
Grob gesprochen hat jede Teilmenge von IR, die "dünn" in IR liegt, das Maß Null.
Nu wirds kompliziert... es gibt überabzählbare Mengen (das sind Mengen, die genau so viele Elemente enthalten, wie IR) mit dem Maß Null. Die prominenteste ist das so genannte "Cantorsche Diskontinuum".
Das Cantorsche Diskontinuum besteht aus allen Zahlen zwischen 0 und 1, die in der Entwicklung zur Basis 3 keine 2 enthalten.
Erläuterung: "Entwicklung zur Basis 3" ist analog zur Dezimalbruchentwicklung zu verstehen, nur dass als Ziffern nicht 0, 1, ..., 9, sondern nur 0, 1, 2 zur Verfügung stehen.
Tut mir leid, dass ich nicht weiter helfen kann, aber vielleicht fällt jemand anderes eine schülergerechte Definition ein ... |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 17:57: |
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Hi Zaph!
Frage: Ist A eine Teilmenge von A ?
Falls ja, dann müsste es doch wohl heißen:
"Wenn A Teilmenge B, dann ist immer das Maß von A kleiner oder gleich Maß von B. "
Zu der Cantor-Menge: Die "Entwicklung zur Basis 3" klingt fachlich natürlich viel "korrekter" als das hier, aber vielleicht ist das besser verständlich:
Man nimmt die Strecke von 0 bis 1. Nun schneidet man das mittlere Drittel (also das Intervall von 1/3 bis 2/3 raus)
Nun bleibt das linke und das rechte Drittel übrig.
Nun nehmen wir uns das linke Drittel vor und schneiden von diesem Drittel ebenfalls das mittlere Drittel raus und machen das ebenso mit dem rechten Drittel.
Und so machen wir immer weiter: Aus jedem Intervall wird immer das mittlere Drittel herausgeschnitten.
Hier ein kleiner Versuch, das graphisch irgendwie darzustellen:
Stellen wir uns mal vor, dass das das Intervall von 0 bis 1 ist:
0 ################################################################################# 1(Maß=1)
Nun schneiden wir das mittlere Drittel heraus:
0 ###########################...........................########################### 1(Maß=2/3)
1}(Maß=2/3)
0 #########.........#########...........................#########.........######### 1(Maß=2/3*2/3=4/9)
0 ###...###.........###...###...........................###...###.........###...### 1(Maß=2/3*4/9=8/27)
0 #.#...#.#.........#.#...#.#...........................#.#...#.#.........#.#...#.# 1(Maß=2/3*8/27=16/81)
und so weiter und so weiter und so weiter
Was dann am Ende noch übrig bleibt, das ist diese Cantor-Menge, die immernoch unendlich viele Punkte besitzt, aber das Maß Null hat.
In meinen obigen Betrachtungen habe ich allerdings die Begriffe "offene" und "abgeschlossene" Intervalle vermieden, weil ich mir selbst nicht ganz sicher bin, ob da jetzt offene oder abgeschlossene Intervalle herausgeschnitten werden.
Zaph, Du kannst das ja nochmal vom mathematischeren Standpunkt durchleuchten wenn Du willst.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 19:14: |
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Du hast natürlich Recht, wenn A eine Teilmenge von B ist, dann ist das Maß von A kleiner oder gleich dem Maß von B. Auch wenn "Teilmenge" durch "echte Teilmenge" ersetzt wird, muss es "kleiner oder gleich" heißen.
Zur Cantormenge: Es werden offene Intervalle herausgeschnitten. Würden abgeschlossene Intervalle herausgeschnitten, dann wäre zum Schluss nichts mehr übrig.
Es gibt übrigens unterschiedliche Maßbegriffe. Das oben angedeutete ist das Lebesgue-Maß (sprich lebeck, Betonung auf beck).
Es gibt übrigens Mengen, die nicht Lebesgue-messbar sind, aber das ist wieder ziemlich schwierig zu beweisen. Außerdem habe ich ja gar nicht korrekt beschriebn, was das Maß einer Menge sein soll, sondern nur einige Eigenschaften aufgezählt. |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 22:17: |
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tach!
ich wusste ja nicht, was ich tat! ich habe gar keine ahnung von mathe und habe mir nach meinem mathe-lk ein buch namens "einfuehrung in die hoehere mathematik" gekauft. nun bin ich bei dem kapitel integralrechnung (vorsicht leute, ich werde dazu auch noch fragen stellen!)...
da las ich in einem kleinem absatz von mengen mass null... das unheil nahm seinen lauf!
zaph, du schriebst, dass die menge [a,oo] das mass unendlich hat, warum hat dann die menge aller reelen zahlen das mass 0?
du schriebst auch, dass die menge [a,b] das mass b-a hat. aber warum hat eine endliche menge das mass null? (ist ein intervall eine endliche menge?)
das cantorsche diskontinuum wird doch auch cantorscher staub(menge) genannt? wenn ja, dann kenne ich das. faellt das nicht in die fraktale geometrie?
in meinem buch steht, dass jede punktmenge der x-achse eine mege mass null genannt wird, wenn man die summe der intervalle, welche alle punkte der menge enthalten, beliebig klein machen kann (kleiner als jede beliebige positive vorgegebene zahl epsilon). man kann zeigen, dass jede abzaehlbare punktmenge mass null hat. ...
abzaehlbar heisst doch, dass jedem element einer menge, eine zahl der natuerlichen zahlen zugeoordnet werden kann.
warum hat dann eine endliche menge mass null?
oder besteht eine endliche menge nicht aus emelenten der mege IR?
vielen dank schon mal,
timo |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 22:19: |
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ach ja, ganz vergessen: was ist eigentlich eine ueberabzaehlbare menge? ist IR ueberabzaehlbar?
timo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 23:05: |
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Hi Timo,
1. Wer sagt denn, dass IR das Maß Null hat?? IR hat das Maß unendlich.
2. Ein Intervall [a,b] mit a < b hat unendlich viele Elemente, ist also keine endliche Menge.
3. Den Begriff "Staubmenge" kenne ich nicht. Kann aber sein, dass das irgendwo so genannt wird.
4. Das, was in deinem Buch steht, stimmt.
5. Eine endliche Menge hat ja noch weniger Elemente, als die natürlichen Zahlen. Wenn also jede abzählbare Menge das Maß Null hat, dann also auf jeden Fall jede endliche Menge,
6. Eine überabzählbare Menge ist eine Menge, die mehr Elemente als IN hat. IR ist überabzählbar. Ebenso das Cantorsche Diskontinuum (Staubmenge). Ebenso ein Intevall [a,b] mit a < b. Die Menge der rationalen Zahlen hingegen ist abzählbar. |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 01:30: |
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jau, ich glaube, ich hab's jetzt kapiert.
was ist das besondere mit einer menge mass null im zusammenhang mit integralen? darueber steht in meinem buch nur wenig.
timo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 18:55: |
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Hi Timo, es gibt eine Verallgemeinerung des Integralbegriffs, den man in der Schule lernt; das so genannte Lebesgue-Integral
òM f(x) dm(x)
M ist dabei eine messbare Menge und f(x) eine Funktion von IR nach IR.
Wenn M ein Intervall [a,b] ist, dann ist
òM f(x) dm(x) = òa b f(x) dx,
also das herkömmliche (Riemann-) Integral.
Wenn M das Maß Null hat, dann gilt
òM f(x) dm(x) = 0. |
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