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Gerd (Elysis)
Neues Mitglied
Benutzername: Elysis
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 11:08: | 
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Ich kann mich erinnern, in der Schule haben wir Pi irgendwie mit Polygonen genährt,
allerdings nur ansatzweise. Das wollte ich nochmal nachvollziehen.
Dazu teile ich das Polygon in n gleiche Dreiecke mit der Seitenlänge r und der Höhe h.
Die Höhe h teilt so ein Dreieck (weil es gleichseitig ist) in zwei rechtwinklige Hälften und die Grundseite s in zwei gleichlange Hälften x, richtig ?
Weil die sin- und cos-Funktionen im rechtwinkligen Dreieck nichts anderes als Seitenverhältnisse sind, erlaube ich mir, sie zu benutzen, allerdings mit Winkeln im DEG-Maß.
Also gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks
A_Dreieck = Grundseite * Höhe / 2 = 2x * h /2 = x * h
Für das Polygon gilt also
A_Polygon = n * x * h
Der Winkel zwischen r und r wird ja durch h auch geteilt. So eine Hälfte nenne ich alpha.
Und alpha = 360 / n * 1/2 = 180 / n
Dann ist
x = r * sin ( 180/n ) und
h = r * cos ( 180/n )
Also ist
A_Polygon = n * r * sin ( 180/n ) * r * cos ( 180/n )
A_Polygon = n * r^2 * sin( 180/n ) * cos( 180/n )
Und vom Kreis wissen wir
A_Kreis = pi * r^2
Dann kann ich doch sagen
pi * r^2 = lim (n->oo) n * r^2 * sin ( 180/n ) * cos( 180/n ) ; r^2 kürzt sich raus,
pi = lim (n->oo) n * sin( 180/n ) * cos( 180/n )
So ähnlich gehts ja auch mit dem Umfang :
U_Polygon = n * 2 * x
U_Kreis = 2 * pi * r
2 * pi * r = lim (n->oo) 2 * n * r * sin( 180/n ) ; 2 * r kürzt sich raus,
pi = lim (n->oo) n * sin (180/n)
Das ist für mich auch plausibel, es heißt nämlich daß
lim (n->oo) cos( 180/n ) = cos 0 = 1 ist.
Jetzt habe ich allerdings damit ein Problem :
pi = lim (n->oo) n * sin (180/n) ; das ist lim 0 * oo - da fällt mir der l'Hospitall ein :
(Jetzt hoffe ich, daß ich richtig nach n abgeleitet habe - *bibber* )
pi = lim (n->oo) n * cos( 180/n ) * (-180 / n^2 ) + 1 * sin( 180/n )
pi = lim (n->oo) n * (-180/n^2) = lim (n->oo) -180/n = 0 ; Das kann aber nicht sein !!!
Funktioniert dieser Ansatz überhaupt ?
Was habe ich falsch gemacht, und wer hat vielleicht eine Idee ?
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Vredolf Ludrian (vredolf)
Neues Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 22:07: |
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Hi Gerd,
Da die Frage immer noch offen ist, hier mein Versuch
zur Klärung:
lim [n->oo] n * sin(180°/n)
= lim [k->0] sin(180° * k)/k
l'Hôspital:
= lim[k->0] 180° * cos(180° * k) / lim [k->0] 1
= 180° * cos(0) = 180° entsprechend Pi.
mfg, Vred |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Neues Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 22:16: |
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Alternativbeweis über die Reihendartstellung von sin(x):
sin(x)=x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...ad inf
=> lim [n->oo] n * sin(180°/n)
= lim [n->oo] n * (180°/n - 180^3°/(n^3*3!) +...)
= lim [n->oo} 180° - 180^3°/(n^2*3!) +...
=> Alle Summanden außer dem ersten fallen weg beim Grenzübergang
von n->oo.
=> Der gesuchte Grenzwert ist gleich 180° entsprechend Pi.
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Gerd (elysis)
Neues Mitglied
Benutzername: elysis
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 01:35: |
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Vielen Dank. Das half mir schon sehr weiter.
Wie war das - die dümmsten Schüler stellen die schönsten Fragen - oder so...
Und weiterhin dem Geheimnis von Pi auf der Spur :
Ich sehe ein, daß ich den Beweis vom Euler brauche für : pi^2/6 = S [k=1,oo] (1/k^2)
Ich glaube, das wird das Stück sein, wonach ich seit Tagen verzweiflt im Innern suche.
Ist jemand zufällig im Netz drüber gestolpert ?
Gruß,
elysis
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Vredolf Ludrian (vredolf)
Neues Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 16:20: |
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Hi Gerd,
Ich hab deine E-Mail bekommen.
Hier hab ich einen Link, wo du mindestens einen Beweis
finden kannst, dass zeta(2)=pi^2/6, wobei zeta(2) eben
diese Summe meint. Allerdings sehen die Beweise doch recht
nichtelementar und anspruchsvoll aus.
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html
lg, Vred |
Gerd (elysis)
Neues Mitglied
Benutzername: elysis
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 12:33: |
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Das ist aber das, wonach ich gesucht habe.
Vielen Dank, nochmal !! 
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