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Gerd (Elysis)
Neues Mitglied Benutzername: Elysis
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 01-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 11:08: |
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Ich kann mich erinnern, in der Schule haben wir Pi irgendwie mit Polygonen genährt, allerdings nur ansatzweise. Das wollte ich nochmal nachvollziehen. Dazu teile ich das Polygon in n gleiche Dreiecke mit der Seitenlänge r und der Höhe h. Die Höhe h teilt so ein Dreieck (weil es gleichseitig ist) in zwei rechtwinklige Hälften und die Grundseite s in zwei gleichlange Hälften x, richtig ? Weil die sin- und cos-Funktionen im rechtwinkligen Dreieck nichts anderes als Seitenverhältnisse sind, erlaube ich mir, sie zu benutzen, allerdings mit Winkeln im DEG-Maß. Also gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks A_Dreieck = Grundseite * Höhe / 2 = 2x * h /2 = x * h Für das Polygon gilt also A_Polygon = n * x * h Der Winkel zwischen r und r wird ja durch h auch geteilt. So eine Hälfte nenne ich alpha. Und alpha = 360 / n * 1/2 = 180 / n Dann ist x = r * sin ( 180/n ) und h = r * cos ( 180/n ) Also ist A_Polygon = n * r * sin ( 180/n ) * r * cos ( 180/n ) A_Polygon = n * r^2 * sin( 180/n ) * cos( 180/n ) Und vom Kreis wissen wir A_Kreis = pi * r^2 Dann kann ich doch sagen pi * r^2 = lim (n->oo) n * r^2 * sin ( 180/n ) * cos( 180/n ) ; r^2 kürzt sich raus, pi = lim (n->oo) n * sin( 180/n ) * cos( 180/n ) So ähnlich gehts ja auch mit dem Umfang : U_Polygon = n * 2 * x U_Kreis = 2 * pi * r 2 * pi * r = lim (n->oo) 2 * n * r * sin( 180/n ) ; 2 * r kürzt sich raus, pi = lim (n->oo) n * sin (180/n) Das ist für mich auch plausibel, es heißt nämlich daß lim (n->oo) cos( 180/n ) = cos 0 = 1 ist. Jetzt habe ich allerdings damit ein Problem : pi = lim (n->oo) n * sin (180/n) ; das ist lim 0 * oo - da fällt mir der l'Hospitall ein : (Jetzt hoffe ich, daß ich richtig nach n abgeleitet habe - *bibber* ) pi = lim (n->oo) n * cos( 180/n ) * (-180 / n^2 ) + 1 * sin( 180/n ) pi = lim (n->oo) n * (-180/n^2) = lim (n->oo) -180/n = 0 ; Das kann aber nicht sein !!! Funktioniert dieser Ansatz überhaupt ? Was habe ich falsch gemacht, und wer hat vielleicht eine Idee ?
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Vredolf Ludrian (vredolf)
Neues Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 22:07: |
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Hi Gerd, Da die Frage immer noch offen ist, hier mein Versuch zur Klärung: lim [n->oo] n * sin(180°/n) = lim [k->0] sin(180° * k)/k l'Hôspital: = lim[k->0] 180° * cos(180° * k) / lim [k->0] 1 = 180° * cos(0) = 180° entsprechend Pi. mfg, Vred |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Neues Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 22:16: |
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Alternativbeweis über die Reihendartstellung von sin(x): sin(x)=x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...ad inf => lim [n->oo] n * sin(180°/n) = lim [n->oo] n * (180°/n - 180^3°/(n^3*3!) +...) = lim [n->oo} 180° - 180^3°/(n^2*3!) +... => Alle Summanden außer dem ersten fallen weg beim Grenzübergang von n->oo. => Der gesuchte Grenzwert ist gleich 180° entsprechend Pi.
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Gerd (elysis)
Neues Mitglied Benutzername: elysis
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 01-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 01:35: |
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Vielen Dank. Das half mir schon sehr weiter. Wie war das - die dümmsten Schüler stellen die schönsten Fragen - oder so... Und weiterhin dem Geheimnis von Pi auf der Spur : Ich sehe ein, daß ich den Beweis vom Euler brauche für : pi^2/6 = S [k=1,oo] (1/k^2) Ich glaube, das wird das Stück sein, wonach ich seit Tagen verzweiflt im Innern suche. Ist jemand zufällig im Netz drüber gestolpert ? Gruß, elysis
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Vredolf Ludrian (vredolf)
Neues Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 16:20: |
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Hi Gerd, Ich hab deine E-Mail bekommen. Hier hab ich einen Link, wo du mindestens einen Beweis finden kannst, dass zeta(2)=pi^2/6, wobei zeta(2) eben diese Summe meint. Allerdings sehen die Beweise doch recht nichtelementar und anspruchsvoll aus. http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html lg, Vred |
Gerd (elysis)
Neues Mitglied Benutzername: elysis
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 01-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 12:33: |
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Das ist aber das, wonach ich gesucht habe. Vielen Dank, nochmal !!
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