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Viktor S.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 15:00: | 
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Hallo
Kann mir jemand helfen, diese Aufgabe zu lösen ?
Gegeben sind die Punkte A(a/0), B(0/b) und C (a/b)
mit lauter positiven Konstanten.
Eine beliebige Gerade g durch C schneidet die x-Achse
in D und die y-Achse in E.
Gesucht wird die Ortskurve des Schnittpunktes der Geraden
BD und AE, wenn g um C gedreht wird.
Vielen Dank im voraus
Viktor
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 20:43: |
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Hi Viktor,
Die Gleichung der Geraden g durch C lautet:
y – b = m* (x - a) , die Steigung m von g spielt
dabei die Rolle eines Parameters.
Die Koordinaten des Schnittpunktes D von g mit der
x-Achse sind : xD = a – b / m , yD = 0
Die Koordinaten des Schnittpunktes E von g mit der
y-Achse sind : xE = 0 , yE = b – m * a.
Mit der so genannten Achsenform schreiben wir die
Gleichungen der Geraden g1 = AE und g2 = BD an:
g1: x / a + y/(b - m a) = 1 oder
(b- m a) * x + a * y = a * (b -m a)………………….(1)
g2: : x /(a – b / m) + y / b = 1 oder
b * x + (a - b / m)* y = b * (a- b / m )………………(2)
Löst man in (1) und (2) die Kammern und subtrahiert
die zweite Gleichung von der ersten, erhält man die
Relation:
- m^2 * a x + b y = - a^2 m^2 + b ^ 2 oder :
m^2 = [ b* (b-y)] / [a * (a-x)]……………………….(3)
löst man (1) nach m auf, so kommt :
m = [a b – a y – b x ] / [a* (a – x ) ]
Quadriert man dies und verwendet (3) , so ist
der Parameter m eliminiert.
Die parameterfreie Gleichung lautet:
b^2*x ^2+a^2 y^2+a b*x*y - a* b^2 * x – a^2* b* y = 0
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Diese Gleichung stellt eine Ellipse dar, die durch den Nullpunkt
geht .
Wir ermitteln noch den Mittelpunkt M dieser Ellipse.
Implizite Differentiation der Ellipsengleichung nach x liefert
für die Ableitung y´(x) :
y´= - [2*b^2*x + a*b*y – a*b^2] / [a*b*x +2*a^2*y – a^2*b]
Setzt man einerseits den Zähler, andrerseits den Nenner null,
so erhält man die Gleichungen zweier Durchmessergeraden
der Ellipse:
L1: 2*b^2*x + a* b*y – a*b^2 = 0
L2 : a*b* x + 2*a^2*y – a^2*b = 0
Löst man dieses System ( etwa mit Cramer ) auf , so erhält man
als Lösungen die Koordinaten xM, yM des Mittelpunktes M
der Ellipse.
Resultat:
xM = 1/3 * a , yM = 1/3 * b (BRAVO !)
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Deutung: M ist der Schwerpunkt im Dreieck OAB !!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Viktor S.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 07:16: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für Deine sehr lehrreiche Lösung !
Mit freundlichen Grüßen
Viktor S.
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