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Viktor S.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 15:00: |
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Hallo Kann mir jemand helfen, diese Aufgabe zu lösen ? Gegeben sind die Punkte A(a/0), B(0/b) und C (a/b) mit lauter positiven Konstanten. Eine beliebige Gerade g durch C schneidet die x-Achse in D und die y-Achse in E. Gesucht wird die Ortskurve des Schnittpunktes der Geraden BD und AE, wenn g um C gedreht wird. Vielen Dank im voraus Viktor
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 20:43: |
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Hi Viktor, Die Gleichung der Geraden g durch C lautet: y – b = m* (x - a) , die Steigung m von g spielt dabei die Rolle eines Parameters. Die Koordinaten des Schnittpunktes D von g mit der x-Achse sind : xD = a – b / m , yD = 0 Die Koordinaten des Schnittpunktes E von g mit der y-Achse sind : xE = 0 , yE = b – m * a. Mit der so genannten Achsenform schreiben wir die Gleichungen der Geraden g1 = AE und g2 = BD an: g1: x / a + y/(b - m a) = 1 oder (b- m a) * x + a * y = a * (b -m a)………………….(1) g2: : x /(a – b / m) + y / b = 1 oder b * x + (a - b / m)* y = b * (a- b / m )………………(2) Löst man in (1) und (2) die Kammern und subtrahiert die zweite Gleichung von der ersten, erhält man die Relation: - m^2 * a x + b y = - a^2 m^2 + b ^ 2 oder : m^2 = [ b* (b-y)] / [a * (a-x)]……………………….(3) löst man (1) nach m auf, so kommt : m = [a b – a y – b x ] / [a* (a – x ) ] Quadriert man dies und verwendet (3) , so ist der Parameter m eliminiert. Die parameterfreie Gleichung lautet: b^2*x ^2+a^2 y^2+a b*x*y - a* b^2 * x – a^2* b* y = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Diese Gleichung stellt eine Ellipse dar, die durch den Nullpunkt geht . Wir ermitteln noch den Mittelpunkt M dieser Ellipse. Implizite Differentiation der Ellipsengleichung nach x liefert für die Ableitung y´(x) : y´= - [2*b^2*x + a*b*y – a*b^2] / [a*b*x +2*a^2*y – a^2*b] Setzt man einerseits den Zähler, andrerseits den Nenner null, so erhält man die Gleichungen zweier Durchmessergeraden der Ellipse: L1: 2*b^2*x + a* b*y – a*b^2 = 0 L2 : a*b* x + 2*a^2*y – a^2*b = 0 Löst man dieses System ( etwa mit Cramer ) auf , so erhält man als Lösungen die Koordinaten xM, yM des Mittelpunktes M der Ellipse. Resultat: xM = 1/3 * a , yM = 1/3 * b (BRAVO !) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Deutung: M ist der Schwerpunkt im Dreieck OAB !! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath.
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Viktor S.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 07:16: |
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Hallo H.R.Moser,megamath Vielen Dank für Deine sehr lehrreiche Lösung ! Mit freundlichen Grüßen Viktor S.
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