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Tom
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 10:46: | 
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Kurze Frage was heisst R[x] / p(x) ?
als Beispiel vielleicht p(x)=x^2+1
Ich weiss nur soviel, dass es irgendwas mit Faktorring zu tun hat.
Dankschön schon mal.
tom |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 12:08: |
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Hallo, Tom!
Ich nehme mal an, dass das p(x) für Polynom stehen könnte. R[x] ist vielleicht der Rest bei einer Division.
Wenn z.B. p(x)=x^3-1 ist, und man weiß, dass x=1 eine eine Nullstelle ist, dann kann man das Polynom p(x) als Produkt von (x-1) und einem Restpolynom R[x] schreiben, also:
p(x)=(x-1)*R[x]
oder man das nach R[x] auflösen und sagen, dass man diesen Rest R[x] erhält, wenn man das Polynom durch (x-1) teilt (Polynomdivision).
R[x]=p(x)/(x-1)
Warum man nun aber den Rest R[x] durch das Polynom teilen sollte, ist mir etwas unklar.
Alles nur geraten...
Irgendsowas in der Richtung ist es vielleicht. Hast Du nicht irgendeinen Zusammenhang oder eine Ausgabe oder sonstwas, das einem weiter Aufschluss geben könnte?
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 20:50: |
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Hi Tom, Cosine,
das ist Algebra, und zwar nicht die Art von Algebra, die man von der Schule her kennt (Rechnen mit Buchstaben, Lösen von Gleichungssystemen), sondern "höhere Algebra". Eine genaue Definition dazu weiß ich jetzt auch nicht, ich würde es mal als die Lehre von mathematischen Strukturen umschreiben.
Mit R[x] bezeichnet man die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten. (Falls mit R die reellen Zahlen gemeint sind.) Man kann Polynome addieren und multiplizieren, das Ergebnis ist immer wieder ein Polynom. Es gelten Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz. Man sagt: die Menge der Polynome bildet einen "Ring" (genauer einen "kommutativen Ring mit 0 und 1"). Dividieren kann man Polynome nicht, zumindest ist das Ergebnis dann kein Polynom mehr.
R[x]/p(x) ist kein Quotient im herkömmlichen Sinne, sondern wieder ein Ring.
Und zwar identifiziert man dabei p(x) mit dem Nullpolynom n(x) = 0. Wenn also p(x) = x²+1, dann gilt x²+1=0 in R[x]/(x²+1). Entsprechend ist dann z. B. x² = -1, 3x²-x+4 = -3-x+4 = -x+1 oder x³ = -x. U. s. w.
Man kann zu jedem Polynom q(x) ein Polynom r(x) finden, welches einen kleineren Grad hat als p(x) und für das q(x) = r(x) in R[x]/p(x) gilt.
Der Witz ist: R[x]/p(x) ist wieder ein Ring. Wenn p(x) nicht in Faktoren zerfällt ("p(x) ist irreduzibel"), dann ist R[x]/p(x) sogar ein "Körper".
Wenn R die reellen Zahlen sind, dann kannst du in R[x]/(x²+1) plötzlich die Wurzel aus -1 ziehen (denn x² = -1!). In der Tat kann man zeigen, dass R[x]/(x²+1) nichts anderes ist, als die Menge (der Körper) der komplexen Zahlen.
Hört sich alles erst mal ziemlich unspannend an, führt aber zu einigen der (in meinen Augen) tiefliegendsten und schwierigsten Gebiete der Mathematik überhaupt. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 01:24: |
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Hi Zaph!
Ich möchte mich für Deinen Beitrag mit einem schönen langen
HÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄHHHHHHHHHHHHHH??????????
bedanken, aber ich muss Dir widersprechen, dass es sich unspannend (gibt's das Wort überhaupt?) anhört. Im Gegenteil: Es klingt sehr interessant. Nur habe ich nicht viel davon verstanden, aber ich gehe davon aus, ich werde im Studium etwas damit zu tun bekommen...
Ich meine, Deine Aussage, dass man Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren kann und dabei wieder Polynome erhält, aber eine Division nicht unbedingt möglich ist, okay, das war ja nicht schwer zu kapieren. Und dass man eine Menge, in der +,- und * definiert ist, einen Ring nennt, ist ja nur eine Bezeichnung.
Aber wieso R[x]/p(x) kein Quotient, sondern wieder ein Ring sein soll, und woher das x²+1 plötzlich kommt, ist mir wohl noch zu hoch.
Aber vermutlich wird das dann noch auf mich zukommen...
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 20:07: |
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Hi,
da ist meine Erklärung wohl etwas verunglückt, und ich versuchs nochmal andersrum. So kompliziert ist es nämlich garnicht (zumindest die Definition).
Also: In "R[x]/p(x)" hat "/" nichts mit einem herkömmlichen Bruchstrich zu tun. "R[x]/p(x)" ist einfach nur eine historisch bedingte Schreibweise. Korrekt müsste es eigentlich "R[x]/(p(x))" heißen. Sprechweise: "Der Restklassenring (oder auch Faktorring) von R[x] modulo dem Ideal (p(x))" oder ähnlich kryptisch.
Ich gehe jetzt mal davon ab, dass R die Menge der reellen Zahlen ist. R kann ein beliebiger Ring sein, z. B. die Menge der reellen, rationalen oder ganzen Zahlen oder ein ganz anderer Ring. In einem "Ring" kann man addieren und multiplizieren, obwohl die Addition und Multiplikation nicht notwendigerweise mit den alt bekannten Operationen übereinstimmen muss. Zusätzlich nehme ich aber jetzt doch vereinfachend an, dass der Ring kommutativ ist und ein Einselement besitzt. In solch einem Ring gelten im wesentlichen alle Gesetze, die für die ganzen Zahlen gelten; das soll hier an Erklärung reichen. Wenn etwas unklar ist, stell die unter R also einfach die Mange der ganzen Zahlen vor.
R[x] ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus R. Wie bereits oben erwähnt, ist R[x] (mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen) wieder ein Ring.
Es sei jetzt p(x) ein Polynom aus R[x] und der höchste Koeffizient sei 1. k sei der Grad des Polynoms. Dann ist R[x]/p(x) die Menge aller Polynome vom Grad kleiner als k. Dies ist wieder ein Ring, allerdings nicht mit der herkömmlichen Addition und Multiplikation von Polynomen!
Die Addition ist kein Problem: Zwei Polynome werden addiert, indem die entsprechenden Koeffizienten addiert werden. Wenn du allerdings zwei Polynome herkömmlich multiplizierst, ist der Grad des Produkts eventuell größer als k, das Ergebnis ist also nicht mehr in R[x]/p(x).
In diesem Falle benutzt du "p(x)=0".
Am besten ein Beispiel: Z = ganze Zahlen, p(x) = x³ + x - 1. a(x) = x² + 1 und b(x) = x² - 2 sind Elemente aus Z[x]/(x³+x-1). Es ist a(x)*b(x) = x4 - x² -2. Wegen x³ + x - 1 = 0 ist x³ = -x + 1. Also a(x)*b(x) = x(-x + 1) - x² - 2 = -2x² + x - 2.
So ist die Multiplikation in R[x]/p(x) definiert.
Ein exemplarischer Trick ist der folgende.
Du hast einen Körper K (z. B. die rationalen oder reellen Zahlen) und ein Polynom p(x) ohne Nullstelle in K. Man kann jetzt zeigen, dass K[x]/p(x) wieder ein Körper ist, wenn p(x) "irreduzibel" ist (nicht in Faktoren zerfällt). K[x]/p(x) enthält K als Teilmenge (die konstanten Polynome sind die Elemente aus K) und in K[x]/p(x) hat p(x) plötzlich eine Nullstelle, nämlich x! Genau genommen ist K[x]/p(x) sogar der "kleinste" Oberkörper von K, in dem p(x) eine Nullstelle besitzt.
Zu Toms Beispiel: x²+1 hat in IR keine Nullstelle, wohl aber in IR[x]/(x²+1). IR[x]/(x²+1) = {a+bx | a,b aus IR} und es gilt x² = -1. Das sieht doch verdammt nach der Menge der komplexen Zsahlen aus, nur dass das x da i heißt.
Ich hoffe, Cosine, dein HÄH fällt jetzt etwas kürzer aus :-) |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 22:53: |
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Danke, Zaph!
Mein HÄH fällt sogar ganz weg. Ich habe es -glaube ich- sogar verstanden!!!
Zumindest habe ich im Moment das Gefühl. Wenn ich etwas länger darüber grübeln würde, kämen wahrscheinlich noch ein paar Fragen auf, aber im Moment ist alles klar.
Dankeschön!
Ciao
Cosine |
Tom
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juni, 2000 - 09:25: |
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Ich glaub ich hab´s auch kapiert. Gute Erklärung. Danke Zaph. :-)) Klausur, du kannst kommen!
tom |
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