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Bestimmung von Streckzentrum + Beweis...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Beweisführung » Bestimmung von Streckzentrum + Beweis « Zurück Vor »

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Bjoern Weiland (Bjoern)
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Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 17:11:   Beitrag drucken

Gegeben ist ein schiefwinkliges Koordinatensystem mit den linear unabhängigen Vektoren {-1;1} und {1;0} als Basis. In diesem Koordinatensystem hat die zentrische Streckung 'beta' die Abbildungsgleichung
x1'=k*x2+c
x2'=k*x1+d

k e R (<-- k ist Element von R) ^ k ungleich 0;1; c,d ist auch Element von R

Die Affinitätsachse ist die Gerade durch die Fixpunkte F1 (0/1) und F2 (8/1)

Aufgabe:
1) Bestimmen Sie die Koordinaten des Streckzentrums Z von 'beta' in Abhängigkeit von k, c und d
2) Zeigen Sie: Genau dann ist 'alpha' ° 'beta' = 'beta' ° 'alpha' (<-- das Grad-Zeichen soll für eine Verkettung stehen, also 'alpha' nach 'beta' und umgekehrt), wenn Z auf der Affinitätsachse liegt.
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Bjoern Weiland (Bjoern)
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Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 17:17:   Beitrag drucken

Addendum:
Die Aufgabe ist sozusagen die Fortsetzung von "Affine Abbildungen (Orthogonale und Koordinatensystem)", einem anderen Beitrag, den ich vor kurzem geposted habe. Würde mich über eure Hilfe freuen, Vielen Dank im Vorraus
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Kai
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Mai, 2000 - 21:36:   Beitrag drucken

?? Ist das 5 Semester kurz vor der Doktorarbeit?
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Bjoern Weiland (Bjoern)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 16:26:   Beitrag drucken

Nee. lediglich ne Facharbeit. Kannst Du mir helfen oder nicht? ;-)

Bjoern, der wirklich am verzweifeln ist...
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Anonym
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2000 - 23:39:   Beitrag drucken

Verstehe das ^Zeichen nicht. Soll das ein "hoch" oder ein "und" sein?
Ich bin bei folgender Zeile beim Lesen hängengeblieben:

k e R (<-- k ist Element von R) ^ k ungleich 0;1; c,d ist auch Element von R
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alicia
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 04:03:   Beitrag drucken

was ist eine zentrischhe streckung, vortrag fuer mathe, koennt ihr mir vielleicht ne webpage oder so schicken? es ist ziemlich dringend...
danke,
a.
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Bodo
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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 23:54:   Beitrag drucken

Schau mal hier nach:

1)
Aufgaben/Lösungen zur zentrischen Streckung

2)
Geh in das Online-Mathebuch http://www.zahlreich.de/desktop_mathe da findest Du was
darüber.
Zugang: Du brauchst ein Benutzerkonto (Link ganz unten) . Wenn Du dies hast, dann schreibe
eine mail an mathebuch@zahlreich.de (Im Betreff bitte den Benutzernamen Deines
Benutzerkontos eintragen, mail kann leer sein).
Das ganze dauert höchstens 2-3 Minuten.

Gib in den Index des Mathebuchs (Suchmaschine) das Wort "zentrisch" ein.

3)
Links:
Die zentrische Streckung
Eigenschaften der zentrischen Streckung
Konstruktion der zentrischen Streckung

Bodo
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Bjoern Weiland (Bjoern)
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2000 - 14:10:   Beitrag drucken

das ^Zeichen soll ein "und" zeichen sein. aufgabe 1 hat sich erledigt, wenn jemand noch ideen für 2) hat, kann er sich ja melden :)
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Andreas
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2000 - 16:37:   Beitrag drucken

Würde gern helfen aber was soll denn alpha sein?
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Bjoern Weiland (Bjoern)
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2000 - 18:11:   Beitrag drucken

hups, vergessen: alpha:
x1‘ = x1 + 3,5x2 - 3,5
x2‘ = -2,5x2 + 3,5
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Andreas
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2000 - 21:14:   Beitrag drucken

Also mal langsam:

alpha hat die Fixpunkte (0/1) und (8/1) und darüber hinaus ist jeder Punkt mit x2=1 Fixpunkt von alpha.

beta hat nur einen Fixpunkt
x1-Wert: (kd+c)/(1-k^2)
x2-Wert: (kc+d)/(1-k^2)

Offensichtlich darf also k auch nicht -1 sein.

Kannst du mir bitte bestätigen, ob bis hier alles stimmt?

Behauptet wird nun, dass beide Abbildungen vertauschbar sind genau dann, wenn der Fixpunkt von beta (ich nenne ihn B) auch Fixpunkt von alpha ist (also den x2-Wert 1 hat).

Angenommen, sie seien vertauschbar:
beta(B)=B
alpha°beta(B)=alpha(B)
folglich muss nun auch beta°alpha(B)=alpha(B) sein
Somit ist alpha(B) Fixpunkt von beta. Da aber B der einzige Fixpunkt von beta ist, folgt alpha(B)=B. B ist also auch Fixpunkt von alpha.

Frag nach, wenn du's nicht verstanden hast. Es ist bisschen formalistisch, aber im Grunde steckt nicht viel dahinter.

Die Umkehrung, zu zeigen dass wenn B nur auf der Geraden x2=1 liegt bereits die Vertauschbarkeit folgt, kann ich spontan nur mit einer üblen Rechnung zeigen. Sicher gehts auch eleganter. Wenn du mir zurückschreibst überleg ich mir das noch mal.

andreas

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