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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 17:17: | 
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hi,
gibt es eigentlich irgendeinen Beweis für die Flächen-Volumenberechnung durch Integrale? Irgendeine Herleitung?
Für die Ableitung gibt es ja den Differenzialquotienten!
Danke Detlef |
Jabberwocky (jabberwocky)
Mitglied
Benutzername: jabberwocky
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 18:29: |
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Stell Dir vor, Du hast einen Graphen und willst dessen Flächeninhalt mit der x-Achse berechnen.
Bei den Graphen zu f(x) = c und f(x) = mx + n geht dies relativ einfach über die Flächeninhalte von Rechtecken bzw. von Dreiecken.
(vgl: f(x) = x; F(x) = 1/2x^2 <= das ist genau die Formel zur Bestimmung des Flächeninhaltes eines Dreiecks!)
Aber schon bei der Funktion f(x) = x^2 geht das nicht mehr so einfach. Um trotzdem zumindest einen Näherungswert zu erhalten, kann man sich dem Problem folgendermaßen nähern:
Man unterteilt den Graphen einfach in n Rechtecke, und zwar einmal in Rechtecke, die immer zu groß sind ("Obersumme"), und einmal in Rechtecke, die immer zu klein sind ("Untersumme").
Um einen hinreichend genauen Näherungswert zu erhalten, nimmt man einfach den Durchschnitt.
Um nun die Integralrechnung zu definieren, müssen die Vierecke "unendlich dünn" sein, d.h. über einem intervall [a;b] muss es unendlich viele Vierecke geben. Der Grenzwert ist dann *genau* der Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse! (In diesem Falle müssen übrigens die Grenzwerte von Unter- und Obersumme gleich sein - sind sie nicht gleich, so ist die Funktion nicht integrierbar!).
Bei Interesse kann ich Dir zu dieser Problemstellung etwas scannen (mir ist das hier immer zu kompliziert, weil ich so faul bin :D) |
Jabberwocky (jabberwocky)
Mitglied
Benutzername: jabberwocky
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 18:37: |
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Hach, es gibt ja doch nette Leute im Internet ;)
Einfach das ganze mit Ober- und Untersumme mal anschauen!
http://www.acdca.ac.at/material/bsp/f0210_ober_unt ersummen.pdf
http://www.educeth.ch/mathematik/ti92/docs/integra l.pdf |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 19:39: |
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da haste wirklich recht, dass war sehr nett!!
ich arbeite das mal durch und werde mich bei Unklarheiten melden!
vielen dank!
Detlef |
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