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Beitrag |
    
emil (emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 07:12: | 
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Hallo,
Ich kann die nachstehende Aufgabe nicht lösen,
wie muss man sie anpacken? Kann mir jemand einen
Rat geben.
Die Aufgabe lautet so:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit
Nullpunkt O sind der Punkt P(6/4) sowie
die Gerade b mit der Gleichung y = 2 x gegeben.
Eine beliebige Gerade g durch P schneidet
die x –Achse in A(a/0) und die Gerade b in B.
Man ermittle a für die Bedingung, dass das Produkt der
Strecken OA und OB minimal ist.
Ich danke für jede Hilfe im Voraus
Emil k.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2016
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 09:14: |
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Hi Emil,
Dir kann geholfen werden!
Wir benützen die Steigung m von g als Parameter und schränken
m auf alle negativen reellen zahlen ein: m < 0
Gleichung von g:
y – 4 = m ( x – 6 ) .
Der Schnittpunkt von g mit der x-Achse ist A(a/o),
wir finden: a = 6 – 4 / m
Nun schneiden wir g mit b und ermitteln die Koordinaten
xB , yB von B; Ergebnis:
xB = (4 – 6 m) / ( 2 – m) = 2 ( 2-3 m ) / ( 2 – m )
yB = 2 xB = 4 ( 2 – 3 m ) / ( 2 – m )
Die in Frage kommenden Strecken sind:
OA = a und OB = s; es folgt die Berechnung von s^2:
s^2 = xB^2 + yB^2 = (80 – 240 m + 180 m^2) / (2 – m)^2
Bravo: im Zähler klammern wir 20 aus und entdecken
ein Quadrat:
Es ist s^2 = 20 (2 – 3m)^2 / (2 – m ) ^ 2, also:
s = 2 wurzel(5) (2 - 3m) / ( 2 – m ) ; nota bene: m < 0.
Das zu minimierende Produkt lautet:
f(m) = 4 wurzel(5) (2 – 3 m ) ^2 / ( m^2 – 2 m )
Wir beschäftigen uns mit der von den konstanten Faktoren befreite
Funktion g(m):
g(m) = (2 – 3 m ) ^2 / ( m^2 – 2 m )
g(m) ist eine (unecht) gebrochene rationale Funktion in m:
Zählergrad und Nennergrad stimmen überein.
Wir dividieren aus und erhalten:
g(m) = 9 + 2 (3 m + 2 ) / ( m^2 – 2m) ; jetzt leiten wir g(m)
nach m ab. Es kommt:
g´(m) = 2 [- 3 m ^ 2 – 4 m + 4 ] / [ m^2 – 2 m ]^2
Diese Ableitung ist null für m = m*= - 2,
die positive Nullstelle m = 2/3 kommt nicht in Frage.
Wir erhalten für den gesuchten a-Wert im Minimalfall:
a = 6 – 4 / m* =8
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Anmerkung:
Wie man leicht einsieht, gilt für den berechneten Minimalfall:
das Dreieck OAB ist gleichschenklig mit der Spitze in B.
Das hat eine Ursache, wie (fast) alles.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Stefan Ott (sotux)
Neues Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 09:29: |
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Das Arbeitsprogramm könnte beispielsweise so aussehen: Zuerst eine Skizze anfertigen, z.B. mit a=10, damit du siehst was passiert wenn du A auf der x-Achse bewegst ( Vorsicht wenn g parallel zu b wird , Definitionsbereiche überlegen !). Dann brauchst du die Gleichung von g, z.B. aus der 2-Punkte-Formel zu A und P. Wenn du die mit der Gleichung von b gleichsetzt, bekommst du die Koordinaten des Punktes B und kannst dann die Strecken ausrechnen und multiplizieren. Dann weiter wie üblich: ableiten und Nullstelle suchen, sollte im Bereich a>4 ein sauberes Minimum geben.
sotux |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2017
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 10:13: |
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Hi Emil,
Ich schlage eine zweite Methode zur Lösung Deiner
Aufgabe vor.
Es gibt Situationen, bei denen man sich besser den
Umständen anpassen sollte.
Eine solche Situation liegt bei Deiner Aufgabe vor:
Wir passen das Koordinatensystem dem Problem an,
und wir wählen ein schiefwinkliges
(x*,y*)-Koordinatensystem gemäß der folgenden
Angaben:
Die x* - Achse ist mit der x-Achse identisch
Die y*-Achse soll in die Gerade b fallen und zwar so,
dass die x*-Achse um den spitzen Winkel (gamma) mit
tan (gamma) =2 gedreht werden muss,
damit sie mit der y*-Achse zusammenfällt;
es ist übrigens sin(gamma) = 2/wurzel(5).
Mach Dir ein Bildchen.
Der Punkt P hat die schiefwinkligen Koordinaten
x* = 4 , x* = 2 wurzel(5).
Die Gleichung der Geraden g lautet mit der Bezeichnung
meiner früheren Arbeit so:
x* / a + y* / b = 1; (Achsenabschnittsform).
Der Punkt P muss auf g liegen, also erfüllen seine
Koordinaten die soeben notieret Gleichung;
daraus folgt:
4/a+2wurzel(5)/b = 1, daraus entspringt:
b = 2 wurzel(5) a / (a-4)
Somit lautet das Produkt p der involvierten Strecken
OA und OB:
p = p(a) = QA * OB = 2*wurzel(5) a^2 / (a – 4)
Hier hat also a die Rolle des Parameters übernommen.
Wir leiten p nach a ab; es kommt:
p´(a) = 2 wurzel(5) [ a^2 – 8 a ] / (a-4) ;
die Nullstelle der Ableitung ist, wie zu erwarten war,
a = 8
°°°°°
Alles roger, alles ok,
soweit ich seh´
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2018
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 11:05: |
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Hi Emil,
Eine weitere Feststellung will ich nicht verschweigen.
Deine Aufgabe ist äquivalent zu einer andern Extremalaufgabe,
deren Lösung auf der Hand liegt; sie liegt auf der Hand,
wie wir sehen werden, weil sie sich leichter (er-)fassen lässt,
als die ursprüngliche Aufgabe.
Mit Hilfe eines bekannten Flächensatzes aus der Trigonometrie
kann man den Flächeninhalt A° des Dreiecks OAB so berechnen:
A° =1/2 OA * OB * sin (gamme), wobei gamma den konstanten
Innenwinkel bei O des Dreiecks darstellt.
Die Frage nach dem Minimum des Produkts OA * OB ist identisch
mit der Frage nach dem Minimum der Fläche des Dreiecks OAB.
Die Antwort dürfte bekannt sein
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Spitze in B
(gleiche Basiswinkel gamma und alpha bei O und A).
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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