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emil (emil_k)
Junior Mitglied Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 07:12: |
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Hallo, Ich kann die nachstehende Aufgabe nicht lösen, wie muss man sie anpacken? Kann mir jemand einen Rat geben. Die Aufgabe lautet so: In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit Nullpunkt O sind der Punkt P(6/4) sowie die Gerade b mit der Gleichung y = 2 x gegeben. Eine beliebige Gerade g durch P schneidet die x –Achse in A(a/0) und die Gerade b in B. Man ermittle a für die Bedingung, dass das Produkt der Strecken OA und OB minimal ist. Ich danke für jede Hilfe im Voraus Emil k.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2016 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 09:14: |
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Hi Emil, Dir kann geholfen werden! Wir benützen die Steigung m von g als Parameter und schränken m auf alle negativen reellen zahlen ein: m < 0 Gleichung von g: y – 4 = m ( x – 6 ) . Der Schnittpunkt von g mit der x-Achse ist A(a/o), wir finden: a = 6 – 4 / m Nun schneiden wir g mit b und ermitteln die Koordinaten xB , yB von B; Ergebnis: xB = (4 – 6 m) / ( 2 – m) = 2 ( 2-3 m ) / ( 2 – m ) yB = 2 xB = 4 ( 2 – 3 m ) / ( 2 – m ) Die in Frage kommenden Strecken sind: OA = a und OB = s; es folgt die Berechnung von s^2: s^2 = xB^2 + yB^2 = (80 – 240 m + 180 m^2) / (2 – m)^2 Bravo: im Zähler klammern wir 20 aus und entdecken ein Quadrat: Es ist s^2 = 20 (2 – 3m)^2 / (2 – m ) ^ 2, also: s = 2 wurzel(5) (2 - 3m) / ( 2 – m ) ; nota bene: m < 0. Das zu minimierende Produkt lautet: f(m) = 4 wurzel(5) (2 – 3 m ) ^2 / ( m^2 – 2 m ) Wir beschäftigen uns mit der von den konstanten Faktoren befreite Funktion g(m): g(m) = (2 – 3 m ) ^2 / ( m^2 – 2 m ) g(m) ist eine (unecht) gebrochene rationale Funktion in m: Zählergrad und Nennergrad stimmen überein. Wir dividieren aus und erhalten: g(m) = 9 + 2 (3 m + 2 ) / ( m^2 – 2m) ; jetzt leiten wir g(m) nach m ab. Es kommt: g´(m) = 2 [- 3 m ^ 2 – 4 m + 4 ] / [ m^2 – 2 m ]^2 Diese Ableitung ist null für m = m*= - 2, die positive Nullstelle m = 2/3 kommt nicht in Frage. Wir erhalten für den gesuchten a-Wert im Minimalfall: a = 6 – 4 / m* =8 °°°°°°°°°°°°°°°°° Anmerkung: Wie man leicht einsieht, gilt für den berechneten Minimalfall: das Dreieck OAB ist gleichschenklig mit der Spitze in B. Das hat eine Ursache, wie (fast) alles. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Stefan Ott (sotux)
Neues Mitglied Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 09:29: |
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Das Arbeitsprogramm könnte beispielsweise so aussehen: Zuerst eine Skizze anfertigen, z.B. mit a=10, damit du siehst was passiert wenn du A auf der x-Achse bewegst ( Vorsicht wenn g parallel zu b wird , Definitionsbereiche überlegen !). Dann brauchst du die Gleichung von g, z.B. aus der 2-Punkte-Formel zu A und P. Wenn du die mit der Gleichung von b gleichsetzt, bekommst du die Koordinaten des Punktes B und kannst dann die Strecken ausrechnen und multiplizieren. Dann weiter wie üblich: ableiten und Nullstelle suchen, sollte im Bereich a>4 ein sauberes Minimum geben. sotux |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2017 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 10:13: |
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Hi Emil, Ich schlage eine zweite Methode zur Lösung Deiner Aufgabe vor. Es gibt Situationen, bei denen man sich besser den Umständen anpassen sollte. Eine solche Situation liegt bei Deiner Aufgabe vor: Wir passen das Koordinatensystem dem Problem an, und wir wählen ein schiefwinkliges (x*,y*)-Koordinatensystem gemäß der folgenden Angaben: Die x* - Achse ist mit der x-Achse identisch Die y*-Achse soll in die Gerade b fallen und zwar so, dass die x*-Achse um den spitzen Winkel (gamma) mit tan (gamma) =2 gedreht werden muss, damit sie mit der y*-Achse zusammenfällt; es ist übrigens sin(gamma) = 2/wurzel(5). Mach Dir ein Bildchen. Der Punkt P hat die schiefwinkligen Koordinaten x* = 4 , x* = 2 wurzel(5). Die Gleichung der Geraden g lautet mit der Bezeichnung meiner früheren Arbeit so: x* / a + y* / b = 1; (Achsenabschnittsform). Der Punkt P muss auf g liegen, also erfüllen seine Koordinaten die soeben notieret Gleichung; daraus folgt: 4/a+2wurzel(5)/b = 1, daraus entspringt: b = 2 wurzel(5) a / (a-4) Somit lautet das Produkt p der involvierten Strecken OA und OB: p = p(a) = QA * OB = 2*wurzel(5) a^2 / (a – 4) Hier hat also a die Rolle des Parameters übernommen. Wir leiten p nach a ab; es kommt: p´(a) = 2 wurzel(5) [ a^2 – 8 a ] / (a-4) ; die Nullstelle der Ableitung ist, wie zu erwarten war, a = 8 °°°°° Alles roger, alles ok, soweit ich seh´ Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2018 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 11:05: |
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Hi Emil, Eine weitere Feststellung will ich nicht verschweigen. Deine Aufgabe ist äquivalent zu einer andern Extremalaufgabe, deren Lösung auf der Hand liegt; sie liegt auf der Hand, wie wir sehen werden, weil sie sich leichter (er-)fassen lässt, als die ursprüngliche Aufgabe. Mit Hilfe eines bekannten Flächensatzes aus der Trigonometrie kann man den Flächeninhalt A° des Dreiecks OAB so berechnen: A° =1/2 OA * OB * sin (gamme), wobei gamma den konstanten Innenwinkel bei O des Dreiecks darstellt. Die Frage nach dem Minimum des Produkts OA * OB ist identisch mit der Frage nach dem Minimum der Fläche des Dreiecks OAB. Die Antwort dürfte bekannt sein Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Spitze in B (gleiche Basiswinkel gamma und alpha bei O und A). Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
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