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Beitrag |
    
Ramona (Rama)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 19:20: | 
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Es sei B=(u1,u2,u3) die Basis von R³ bestehend aus den VekToren u1=(1,1,1) u2=(1,-1,1) und u3=(1,-1,-1). Es sei ^B die ON-Basis, die aus B durch Orthonomalisierung entsteht. Bestimme die Übergangsmatrix von B nach ^B |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 22:09: |
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Hallo Ramona,
Zuerst bestimmen wir nach dem Gram-Schmidt Verfahren eine orthogonale Basis: (n1,n2,n3)
n1=u1=(1,1,1)
n2=u2-(u2.n1/n1.n1).n1=(2/3, -4/3, 2/3)
n3=u3-(u3.n1/n1.n1).n1-(u3.n2/n2.n2).n2=(1, 0, -1)
Diese Basis normieren wir noch:
(Ich bezeichne Wurzel(x) mit W(x) und belasse die n1,n2,n3 als Namen:
n1=(W(3)/3, W(3)/3, W(3)/3)
n2=(W(6)/6, -W(6)/3, W(6)/6)
n3=(W(2)/2, 0, -W(2)/2)
Dies ist also eine orthonormierte Basis.
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Gefragt ist die Transformationsmatrix, so dass:
^B=BA ist
A=B{-1}^B
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B ist die Matrix mit v1,v2,v3 als Kolonnen
^B ist die Matrix mit n1,n2,n3 als Kolonnen.
B-1 die inverse Matrix von B.
Ich habe dies mit einem CAS (computer algebra system)
gerechnet:
Die gesuchte Matrix A hat folgende Kolonnenvektoren:
(W(3)/3, -W(6)/12, W(2)/4)
(0, W(6)/4, -W(2)/4)
(0, 0, W(2)/2)
Wie gesagt: als Kolonnen schreiben:
1. Kol = 1. Zeile
2. Kol = 2. Zeile
3. Kol = 3. Zeile
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