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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 22:13: | 
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Brauche eure Hilfe um folgende 2 Aufgaben zu lösen!!
1.Bestimmen sie den Grenzwert (Reihensumme)der unendlichen Reihen:
a)Summe von k=0 bis unendlich von 1/(k+1)*x hoch x+1
b)summe von k=0 bis unendlich von (k+1)*x hoch x
mit Hilfe der geometrischen Reihe und der Möglichkeit,Potenzreihen gliedweise zu integrieren bzw zu differenzieren.
2.Berechnen sie für den Fall der Existenz folgende uneigentliche Integrale!
a)integral von -unendlich bis unendlich von x/(1+x^2)dx
b)integral von 0 bis unendlich 3/x dx
c)integral von -3 bis 4 von 2/(3. wurzel von 4-x)
dx
Prüfen sie ob im Fall der nichtexistenz der Cauchysche Hauptwert existiert.
P.S. habe schon versucht und bin der Meinung das bei b) der Cauchysche Hauptwert angewendet werden muss.Bin mir aber unsicher muss aber leider dies abgeben.Könnt ihr mir helfen?und wie wird das angewendet? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. April, 2000 - 16:47: |
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Bist du sicher, dass bei Aufg. 1. xx+1 und xx gemeint ist - oder vielleicht eher xk+1 und xk? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 21:29: |
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Ja habe mich verschrieben,sorry x hoch k+1 und x hoch k.Habe Probleme die Datei zu öffnen.
Danke für deine Hilfe!!!! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 18:21: |
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1a)
Sei f(x) = Soo k=0 xk+1/(k+1)
Dann ist
f'(x) = Soo k=0 xk (jeden Summanden einzeln ableiten)
= 1/(1-x) (Formel für geometrische Reihe)
Also
f(x) = -ln(1-x) + c (da -ln(1-x) + c abgeleitet 1/(1-x) ergibt)
Wegen f(0) = 0 folgt c = 0, also
f(x) = -ln(1-x).
1b)
f(x) = Soo k=0 (k+1)xk
F(x) = Soo k=0 xk+1 (einzeln integrieren)
= 1/(1-x) - 1 (geometrische Reihe ohne ersten Summanden)
f(x) = 1/(1-x)² |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 19:33: |
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Danke,super lieb!!!!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 21:11: |
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Hi ,
Einige Deiner Aufgaben, die Du am 13.4. gestellt hast , sind bis heute noch nicht gelöst worden, bezeichnenderweise auch diejenigen nicht, die sich auf den sogenannten Hauptwert von Cauchy beziehen. Dieser Begriff ist nämlich vielen Schulmathematikern nicht bekannt, da er an und für sich wenig gebraucht wird.
Darum ist es wohl angebracht , an einem instruktiven Beispiel darauf einzugehen.
Vorerst aber zu Deinem uneigentlichen Integral aus Aufgabe 2c.
Dieses Integral existiert und hat den Wert 3* 7^(2/3).,wie die folgende Rechnung zeigt:
Die obere Grenze wird als 4-u ( u > 0 angesetzt , wobei nach erfolgter Berechnung des Integrals dessen Grenzwert für u gegen null ermittelt wird.
Wir erhalten J = J( u ) = int (2 /((4-x)^(1/3)) * dx) in den Grenzen -3 bis 4 - u
J(u) = -3 * ( 4 - x ) ^ ( 2 / 3 ), genommen in denselben Grenzen.; es kommt
J(u) = 3 * 7 ^ ( 2 / 3 ) - 3 * u ^ ( 2 / 3 ) und dies strebt gegen 3 * 7 ^ ( 2 / 3 )
für u gegen null, und dieser Grenzwert ist der Wert des gegebenen uneigentlichen Integrals (erster Gattung)
Die beiden andern uneigentlichen Integrale 2a) und 2b) existieren hingegen nicht.
Jetzt zum Begriff des Hauptwertes von Cauchy ; Bezeichnung : v.p.
(valeur principale).
Definition: sei der Integrand f(x) an der Stelle x = z mit z aus [a,b]
unbeschränkt, sodass das Integral int (f(x)*dx) in den angegebenen Grenzen ein uneigentliches Integral erster Gattung ist. Dann versteht man unter dem Cauchyschen Hauptwert den folgenden Grenzwert (seine Existenz vorausgesetzt) :
u > 0 beim Grenzwert im Sinne von : u strebt gegen + 0, d.h. von rechts gegen null.
v.p. = l i m [(int (f(x) * dx)) (Grenzen des Integrals a bis z - u ) +
(int (f(x) * dx)) (Grenzen des Integrals z + u bis b)]
Dazu ein numerisches Beispiel, an welchem etwas zu sehen und zu lernen ist.
Man untersuche das uneigentliche Integral erster Gattung J = int((1/x)*dx)
in den Grenzen -1 bis 2 .
Resultat: das uneigentliche Integral existiert nicht, wie die Berechnung (a) zeigt, wohl aber der Hauptwert von Cauchy : v.p. = l n 2 ; Berechnung (b)
(a) u>0 beim ersten Grenzwert, v>0 beim zweiten Grenzwert, beide Werte u und v streben je gegen +0, d.h. durch fallende Werte hindurch (von rechts) gegen null.
Es kommt J = l i m (int (1/x)*dx) [Grenzen des Integrals -1 bis 0 - u] +
l i m (int (1/x *dx) [Grenzen des Integrals 0 + v bis 2]
= unendl.- 0 +ln2 +unendl. = unendl. (alles cum grano salis !) : das Integral existiert nicht.
(b) v.p. = l i m [int (1/x*dx), (Grenzen -1 bis 0 - u )
+ int(1/x*dx) ,(Grenzen 0 + u bis 2 ) ], u strebt fallend gegen 0
es kommt: v.p.= ln2 - ln (abs(-1))= ln 2
Im Falle eines uneigentlichen Integrals zweiter Gattung (Integrationsgrenze unendlich) geht man analog vor (Ausführung auf Nachfrage hin)
Ebenso gut, wenn nicht besser, können die Hauptwerte von Cauchy mit CAS
berechnet werden.
Der entsprechende Befehl für unser obiges Beispiel (b) lautet für
Maple V : int(1/x,x=1..2,CauchyPrincipalValue);
Achtung: keine Lücken zwischen Cauchy und Principal und zwischen Principal und Value, grosse Anfangsbuchstaben ; nicht "share holder value" schreiben !
Ende für einmal !
Gruss:H:R: |
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