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Jessi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 17:09: | 
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HI,
ich komme einfach bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Sei X ein normierter Raum, A eine abgeschlossene teilmenge von X und B eine kompakte Teilmenge von X. Zeige: A+B ={a+b|a aus A und b ausB} abgeschlossen ist.
Ich habe mir überlegt, dass B auch abgeschlossen ist, da B vollständig ist, wenn es kompakt ist.
Kann ich irgendwie verwenden, dass die Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist, oder hilft mir die Abbildung Addition
add:A x B -> C : (a,b)->a+b, welche stetig ist weiter?
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar!
Jessi |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 19:11: |
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Hi Jessi,
sei C = A + B. Beh.: C ist abgeschlossen.
Dass B abgeschlossen ist, hilft dir erst einmal nicht so sehr weiter, da i.A. abgeschlossen plus abgeschlossen nicht unbedingt abgeschlossen.
Das mit der Vereinigung auch nicht.
Ich würde es so angehen:
C ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge (cn) mit Elementen aus C der Grenzwert in C liegt.
Verwende außerdem, dass B folgenkopakt ist, d.h. jede Folge (bn) mit Elementen aus B besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in B.
Versuch's mal, ich schau später nochmal her ... |
Jessi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 20:15: |
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Danke, für die schnelle Antwort, aber ich komme nicht weiter. Klar, dass jede Folge(bn) eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in B besitzt. Ich weiss nicht recht, wie ich das mit der Addition verbinden soll.
Jessi |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 20:49: |
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Jessi, mit den oben gegebenen Hinweisen (und etwas Routine) ist der Beweis eigentlich straightforward.
Sei (cn) eine Folge in C mit c = lim cn.
Zeige: c ist Element von C. (Dann bist du fertig!)
Da C = A + B, lässt sich jedes cn als Summe von Elementen aus A und B schreiben: cn = an + bn.
Nutze nun die Eigenschaften von A (abgeschlossen) und B (folgenkompakt, nicht "folgenkopakt") aus ...
Vor Mitternacht bin ich nochmal hier. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. April, 2000 - 20:55: |
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aha ! |
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