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Jessi
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 17:09: |
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HI, ich komme einfach bei dieser Aufgabe nicht weiter. Sei X ein normierter Raum, A eine abgeschlossene teilmenge von X und B eine kompakte Teilmenge von X. Zeige: A+B ={a+b|a aus A und b ausB} abgeschlossen ist. Ich habe mir überlegt, dass B auch abgeschlossen ist, da B vollständig ist, wenn es kompakt ist. Kann ich irgendwie verwenden, dass die Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist, oder hilft mir die Abbildung Addition add:A x B -> C : (a,b)->a+b, welche stetig ist weiter? Ich wäre für Hilfe sehr dankbar! Jessi |
Zaph
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 19:11: |
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Hi Jessi, sei C = A + B. Beh.: C ist abgeschlossen. Dass B abgeschlossen ist, hilft dir erst einmal nicht so sehr weiter, da i.A. abgeschlossen plus abgeschlossen nicht unbedingt abgeschlossen. Das mit der Vereinigung auch nicht. Ich würde es so angehen: C ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge (cn) mit Elementen aus C der Grenzwert in C liegt. Verwende außerdem, dass B folgenkopakt ist, d.h. jede Folge (bn) mit Elementen aus B besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in B. Versuch's mal, ich schau später nochmal her ... |
Jessi
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 20:15: |
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Danke, für die schnelle Antwort, aber ich komme nicht weiter. Klar, dass jede Folge(bn) eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in B besitzt. Ich weiss nicht recht, wie ich das mit der Addition verbinden soll. Jessi |
Zaph
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 20:49: |
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Jessi, mit den oben gegebenen Hinweisen (und etwas Routine) ist der Beweis eigentlich straightforward. Sei (cn) eine Folge in C mit c = lim cn. Zeige: c ist Element von C. (Dann bist du fertig!) Da C = A + B, lässt sich jedes cn als Summe von Elementen aus A und B schreiben: cn = an + bn. Nutze nun die Eigenschaften von A (abgeschlossen) und B (folgenkompakt, nicht "folgenkopakt") aus ... Vor Mitternacht bin ich nochmal hier. |
Anonym
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. April, 2000 - 20:55: |
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aha ! |
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