| Autor |
Beitrag |
    
walter
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 14:53: | 
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Hilfe
komm einfach nicht wieter
y' + y/x + 1/x*(x³+1) =0
habe keinen dunst wie das geht
walter |
Mompti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 15:06: |
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Heißt es
y' + y/x + 1/(x(x³+1)) =0
oder
y' + y/x + (x³+1)/x =0
? |
Mompti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 19:41: |
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Keine Antwort?
Naja egal wie der inhomogene Teil heißt, die
homogene Gleichung wird so gelöst:
y' + y/x = 0 |-y/x
dy/dx = -y/x
dy/y = -dx/x
ln|y| = -ln|x| + â
y = a/x mit a=exp(â)
Wenn das auch reicht ... |
Walter
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 20:09: |
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y' + y/x + (x³+1)/x =0
Sorry
Walter |
Mompti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 20:15: |
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Jetzt ists zu spät; gerade eben schnell gelöst :-)
y' + y/x + 1/(x(x³+1)) = 0
Dann würd ich das durch Variation der Konstanten lösen:
Ansatz also: y(x) = a(x)/x ==> y'(x) = (a'(x)*x - a(x))/x² = a'/x - a/x²
in DGL einsetzen,
a'/x - a/x² + a/x² + 1/(x(x³+1)) = 0 |-1/(x(x³+1))
a'/x = -1/(x(x³+1)) |*x
a'(x) = -1/(x³+1)
a(x) = -1/6 ln( (1+x)²/(x²-x+1) ) - arctan( (2x-1)/Ö3 )/Ö3 + b
y(x) = a(x)/x = -ln( (1+x)²/(x²-x+1) ) /(6x) - 1/(xÖ3) *arctan( (2x-1)/Ö3 ) + b/x |
Mompti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 20:40: |
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y' + y/x + (x³+1)/x =0
Die Lösung der homogenen Gleichung ist bekannt:
y = a/x
wieder Variation der Konstanten (s.o.):
Ansatz also: y(x) = a(x)/x ==> y' = a'/x - a/x²
in DGL einsetzen,
a'/x -a/x² +a/x² + (x³+1)/x = 0
a' = -(x³+1)
a(x) = -x4/4 -x + b
zurück in Ansatz y(x) = a(x)/x :
y(x) = (-x4/4 -x + b)/x
=> y(x) = -¾x³ -1 + b/x
Im Nachhinein:
für beide Interpretationen der Aufgabenstellung hätten auch integrierende Faktoren gefunden werden können, die nur von x abhängen, so dass man die Dgl in ein vollständiges Differential überführen könnte. |
Mompti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 20:50: |
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in der letzten Zeile ist mir was durcheinandergekommen ... hatte ¼ und ¾ als Zeichen entdeckt und aus Versehen das falsche genommen. Es muss heißen:
y(x) = -x³/4 -1 + b/x |
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