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Gauß-Algorithmus

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Sonstiges » Archiviert bis 07. Februar 2002 Archiviert bis Seite 1 » Gauß-Algorithmus « Zurück Vor »

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Stefan
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Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 09:40:   Beitrag drucken

Kann mir jmd bei der Lösung helfen?
5 2 -2 |-1
3 1 -3 |-4
2 0 1 | 4
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Schulz (Bj18)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 10:24:   Beitrag drucken

5 2 -2 I-1
0 -1/5 -9/5 I-17/5
0 -4/5 9/5 I22/5
--------------------
5 0 -20 I-35
0 -1/5 -9/5 I-17/5
0 0 9 I18
---------------------
5 0 0 I5
0 -1/5 0 I1/5
0 0 9 I18

>>x1=1 x2=-1 x3=2
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Stefan
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 15:57:   Beitrag drucken

Kannste ir auch die Zwschenrechnungen,-lsungen sagen? Versteh so nicht viel. Danke!
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Schulz (Bj18)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 21:10:   Beitrag drucken

OK, also: Die Aufgabe lautet ja:
5x + 2y - 2z = -1
3x + y - 3z = -4
2x + z = 4

Unser Ziel ist diese Form:
x 0 0
0 y 0
0 0 z

Dazu schreibt man sich zunächst in vereinfachter Form ohne x,y,z flg. auf:

5 2 -2 |-1
3 1 -3 |-4
2 0 1 | 4
----------------
Nun nimmt man sich als erstes die 5 vor.
Alle Zahlen, die unter der 5 in der Spalte stehen, also 3 und 2, müssen nun der Reihe nach zur 0 "gemacht werden". Dazu nehmen wir uns zunächst die 3 vor. Mit Hilfe der 5 soll nun an der Stelle der 3 eine 0 stehen. Dazu kannste Dir jetze eine Gleichung als Nebenrechnung aufstellen: Welche Zahl t, die man mit 5 multipliziert und dann zu 3 addiert, ergibt 0?
Also die Gleichung: 5t + 3 = 0
Nach t umgestellt ergibt sich also:t=-3/5 (oder 0,6, es empfiehlt sich aber, mit Brüchen zu rechnen, um nachher ein genaues Ergebnis zu bekommen)
Nun nochmal zur Wiederholung: die 3 muß zur 0 werden und das kriegen wir jetzt hin, nämlich:
5*(-3/5) + 3 ergibt 0. Nun müssen wir aber weiter die Regeln von Gauß beachten, denn der sagte, dass man nun die Zeile weitergehen muß. Die nächste Zahl neben der 5 in der Zeile ist die 2. Mit Hilfe der 2 verändern wir nun die Zahl, die unter der 2 in der Spalte ist, nämlich die 1. Diese 1 muß aber jetzt nicht 0 ergeben, deswegen nimmt jetzt wieder die -3/5. Man macht also folgendes: 2*(-3/5) + 1. Das ergibt -1/5. Dann gehen wir die Zeile oben weiter durch und neben der 2 steht die -2. Diese -2 wird nun wieder mit -3/5 multipliziert und zu -3 addiert. Also: (-2)*(-3/5) + (-3) = (-2)*(-3/5) - 3 =-9/5. Dann nimmt man oben die -1 und macht wieder genau dasselbe in grün, nämlich:(-1)*(-3/5)- 4 und Du erhältst -1.
Nun muß ja noch die 2 in der Spalte unter der 5 zur 0 gemacht werden, d.h., man stellt wieder eine Gleichung auf: 5t + 2 = 0 >> t=-2/5
Also: 5*(-2/5) + 2 = 0
Dann geht man wieder oben die Zeile weiter und rechnet flg.:
2*(-2/5) + 0 = - 4/5
(-2)*(-2/5) + 1 = 9/5 und (-1)*(-2/5) + 4= 22/5
Das sind jetzt eben alles Nebenrechnungen gewesen, man schreibt das wieder in vereinfachter Form auf:
Zunächst schreibt man die erste Zeile unverändert auf und dann an der Stelle der anderen Zahlen die ausgerechneten. Also:
5 2 -2 |-1
0 -1/5 -9/5 |-17/5
0 -4/5 9/5 | 22/5
---------------------------

Nun nimmt man hiervon die zweite Zahl der zweiten Zeile, also die -1/5. Die Zahlen über und unter -1/5, also die Zahlen 2 und -4/5, müssen jetzt zur 0 gemacht werden.
Also fangen wir mit der 2 an:
Wie vorhin auch schon, stellen wir wieder eine Gleichung auf: -1/5*t + 2 = 0 >>t=10
-1/5*10 + 2 = 0
Nun nehmen wir wieder die anderen Ziffern der zweiten Zeile, die 0;-9/5;-17/5, uns vor:
0*10 +5 =5
(-9/5)*10 - 2= -20 und
(-17/5)*10 - 1 = -35
Nun muß noch die -4/5 zur 0 gemacht werden.
Also: -1/5*t - 4/5 = 0 >> t= -4
-1/5*-4 -4/5 = 0
Nun nehmen wir wieder die 0; -9/5 und -17/5 , also: 0*(-4) +0 = 0
-9/5*-4 + 9/5 = 9und
-17/5*-4 + 22/5 = 18
Nun wird wieder die einfachere Form mit den veränderten Ziffern aufgeschrieben, nämlich:
(die zweite Zeile bleibt nun ja unverändert)
5 0 -20 | -35
0 -1/5 -9/5 |-17/5
0 0 9 |18
--------------------------
Jetzt haben wir schon fast unser Ziel erreicht:)
Wir nehmen uns jetzt nur noch die dritte Ziffer der dritten Zeile, also die 9, vor und stellen wieder zunächst flg. Gleichung auf:
9*t - 20 = 0 (Warum wir jetzt die 20 verändern ist Dir klar, ne?)
>> t=20/9
Also:9*20/9 - 20 = 0
Jetzt gehen wir die Zeile wieder durch, bei den beiden Nullen ändert sich ja nichts, nur die 18 beeinflußt noch die -35: 18*20/9 + 5 = 5
Also erhalten wir flg.:
5 0 0 | 5
0 -1/5 0 |1/5
0 0 9 |18
Unser Ziel ist also erreicht und wir können nun x,y,z einfach bestimmen:
5x = 5 >> x=1
-1/5y = 1/5 >> y=-1
9z = 18


>> z=2

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