| Autor |
Beitrag |
    
Markus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 20:00: | 
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Hi, kann mir jemand bei folgenden Aufgaben helfen:
A1) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von f, der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird.
f(x)=(x-2)^4 ; P(0/16)
A2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von f, der Normalen in P und der x-Achse begrenzt wird.
f(x)= -x² ; P(1/-1)
A3) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Schaubild von f und der Normalen im Wendepunkt von f.
f(x)= -x³+x
A4) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche von folgenden Funktionen zwischen P1(0/0) und P2(pi/0).
y1=2sinX ; y2=sinX
THX MfG Markus |
Friedrich Laher
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 22:09: |
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Etwas sehr ähnliches war da vor kurzem schon mal.
Genügen fürs 1te mal die Bilder?
grün sind die Tangten/Nomale/sinX; geht nich immer
ganz massstäblich
A1)
A2)
A3)
A4)
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Markus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 20:31: |
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Hi, danke für die Schaubilder. Doch ich wollte eigentlich auch den Rechenweg dazu wissen. |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 22:43: |
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NA DANN,
A1) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von f, der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird.
f(x)=(x-2)^4 ; P(0/16)
Wie Bild und Gleichung zeigen ist f(2) = 0 die interessierende 0stelle an der die Fläche ihr "rechtes" Ende hat,
die
Ableitung der Funktion ist 4*(x-2)^3, im Punkt P daher 4*(-2)^3 = -32
Tangent durch P
hat daher die Gleichung t(x) = 16 - x*32 und t(1/2) = 0
Die gesuchte Fläche ist A = A1 - A2 .
A1 ist die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse(blau, x=0), von x=0 bis x=2 ( dort ist f(x)=0 )
A2 ist die Fläche des re.wi.3ecks aus y-Achse von 0 bis P und x-Achse von 0 bis 1/2 ( dort ist t(x) = 0 )
A1 = ò0 2(x-2)^4 dx = ((2-2)^5 - (0-2)^5)/5 = -(-32)/5 = 32/5
A2 = 16*(1/2)/2 = 4
A = 32/5 - 4 = 6 + 2/5 - 4 = 12/5
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A2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von f, der Normalen in P und der x-Achse begrenzt wird.
f(x)= -x² ; P(1/-1)
f'(x) = -2x; die Steigung der Normalen in x ist -1/f'(x), für P also +1/2
die Gleichung der Normalen in P ist n(x) = -1 + (x-1)/2
die die x-Achse bei x = n0 = 3 schneidet
Die gesuchte Fläche A = A1 + A2
A1 ist die Fl. zw. x-Achse und Kurve von x=0 bis f(s) = n(s), -s² = -1+(s-1)/2
s²+s/2-3/2 = 0; s = (-1 + 5)/4 = 1
A2 die Fl. des re.wi.3ecks (s,0),(n0,0),(s,f(s)) also (n0-s)*|f(s)|/2
A2 = (3-1)*1/2 = 1,
A1 = -ò0 1(-x²)dx = ò0 1x²dx = (1³ - 0³)/3 = 1/3
A = A1+A2 = 1/3 + 1 = 4/3
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A3) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Schaubild von f und der Normalen im Wendepunkt von f.
f(x)= -x³+x = x*(-x²+1)
Könntest Du das mal selbst probieren.
Der Wendepunkt ist dort wo f''(w)=0; mit -1/f'(w) ist die Steigung der Normalen im Wendepunkt,
die Gleichung der Normalen
also
n(x) = f(w) - (x - w)/f'(w); das ist die grüne Linie.
nun musst Du, um den 2ten und 3ten Schnittpunkt der n(x) mit der f(x) zu finden,
n(x) = f(x) lösen. ist Zwar eine Kubische Gleichung, von der eine Lösung
schon bekannt ist, nämlich x = w;
daher kannst Du
f(x) - n(x) = 0 durch (x-w) dividieren, wodurch eine nurmehr Quadratische Gleichung entsteht.
Deren Lösung sind dann die Schnittpunkt x=l und x=r der n(x) mit f(x)
(l: linker, r: rechter)
um die
gesuchte Fläche zu finden berechen nun
òl w(n(x)-f(x))dx + òw r(f(x)-n(x))dx
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A4) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche von folgenden Funktionen zwischen P1(0/0) und P2(pi/0).
y1=2sinX ; y2=sinX
ò0 pi(2sinX - sinX)dX = ò0 pisinX dx = (-cos(pi) + cos(0))
ist das SOO schwer? - oder ein Fehler in der Angabe? |
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