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mira (mira13)
Junior Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 09:13: | 
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Hallo an alle gescheiten Köpfe  ,
ich möchte folgende Aufgabe - auch - konstruktiv lösen,
kann mir jemand helfen?
Der Kreis k[M(13,0);5] soll von einer Parabel in erster Hauptlage berührt werden.
Bestimme eine Gleichung derselben und die Berührpunkte!
Danke in Voraus!
mira
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mira (mira13)
Junior Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 09:49: |
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Um eventuelle Unklarheiten zu beseitigen:
Mit der Parabel in erster Hauptlage ist gemeint:
y^2 = 2px
Und mit der Konstruktion habe ich wirklich die Konstruktion gemeint,
die mich interessiert,
nicht zuerst das Berechnen der Berührpunkte und dann das Zeichnen! 
Grüße von mira |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1985
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 15:57: |
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Hi Mira
Ich führe Dir zwei Methoden vor, wie Deine Aufgabe
rechnerisch gelöst werden kann,
die Diskriminantenmethode einerseits und die
Tangentenmethode andrerseits.
Die erste Methode geht so:
Wir schneiden den Kreis ( x -13 ) ^ 2 + y ^ 2 = 25
mit der Parabel y ^ 2 = 2 p x
und fordern, dass die Schnittpunkte paarweise zusammen-
fallen, indem wir die Diskriminante D der quadratischen
Gleichung, aus der die x-Werte der Schnittpunkte entspringen,
null setzen.
Ausführung:
wir setzen y ^ 2 = 2 p x in die Kreisgleichung ein und ordnen.
Die erwähnte quadratische Gleichung lautet:
x ^ 2 +2* (p-13) x + 144 = 0, also D = 4 [(p-13)^2 – 144]
D ist null für p = 1 und p = 25;
dabei zählt als Lösung Deines Problems nur
p =1
°°°°
Der zugehörige x-Wert, d.h die Abszisse des
Berührungspunktes ist x = x1 = 12; daraus ergibt sich
als Ordinate y = y1 = wurzel (24), wie man leicht aus der
Kreis- oder Parabelgleichung findet.
p = 25 geht nicht, da die Lösung x in diesem Fall negativ
wird, was nicht angängig ist.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1986
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 16:24: |
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Hi Mira,
Nun führe ich Dir die Tangentenmethode vor.
Wir formulieren, dass im gemeinsamen Punkt P(x1/y1)
auf dem Kreis und der Parabel die Tangenten an die Kurven
identisch sind.
Die Gleichungen dieser Tangenten finde ich durch die
so genannte Polarisation der entsprechenden Kurvenglaichungen:
Kreis
(x -13)^2 + y^2 = 25; polarisiert:
(x1 - 13) (x – 13 ) + y1 y = 25, geordnet:
(x1 –13) x + y1 y + 144 – 13 x1 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Parabel
y^2 = 2 p x ; polarisiert:
y1 y = p ( x + x1) , geordnet
p x– y1 y+ p x1 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Sollen die unterstrichenen Gleichungen dieselbe Gerade
darstellen, so müssen alle Koeffizienten proportional sein,
es muss also gelten:
[x1-13] / p = - y1 / y1 = [144 – 13 x1] / [ p x1 ]
Aus diesen Gleichungen berechnen wir zunächst
p = 1 und x1 = 12 .
Daraufhin finden wir mit der Parabelgleichung y ^ 2 = 2 x
y1 = plus/minus wurzel(24)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1987
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 17:39: |
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Hi Mira,
Eine dritte Methode rechnerischer Art möchte ich Dir
keinesfalls vorenthalten; ich bin der Meinung, dass man
auch in der Mathematik beweglich sein muss
und nach dem Motto „variatio delectat“ vorgehen sollte.
Die Methode, die ich Dir nun vorführe, beruht darauf,
die Aufgabe auf ein Extremalproblem zu reduzieren.
Der gegebene Kreis wird auf den Mittelpunkt M(13/0) reduziert
und somit zum Nullkreis geschrumpft.
Wir suchen auf der Parabel denjenigen Punkt P(x*/y*), der von M
minimalen Abstand hat.
Das Quadrat Q dieses Abstandes des laufenden Punktes P(x/y)
der Parabel y ^ 2 = 2 p x von M kann so dargestellt werden:
Q = Q(x) = ( x – 13) ^ 2 + 2 p x
Wir leiten nun Q(x) nach x ab; es kommt:
Q´(x) = 2*(x-13) + 2 p
Setze Q´(x) null und löse nach p auf; es gilt:
p = 13 – x
********
Nun erwecken wir den Kreis wieder zum Leben und schreiben
für den Berührpunkt(x*/y*):
(x* - 13) ^ 2 + y* ^ 2 = 25 oder
(x* - 13) ^ 2 + 2 p x* = 25
somit unter Benützung der unterstrichenen Beziehung:
(x* - 13) ^ 2 + 2 (13 – x*) x* = 25; damit entsteht.
x* = 12, sodann p = 1, genau wie früher !
******************
Ich bin davon überzeugt, dass ich mich von einer Darbietung
einer Lösung durch Konstruktion dispensieren darf !*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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elsa (elsa13)
Junior Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 20:36: |
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Hallo, mira,
ich hätte noch eine Nummer 4 der Variationen zu bieten –
wieder nur rein rechnerisch!
Die Berührpunkte B1 und B2 liegen auf der Parabel y^2 = 2 p x einerseits
und andrerseits auf dem Kreis (x-13)^2 + y^2 = 25
In den Berührpunkten müssen die Tangentensteigungen
an die Parabel und an den Kreis gleich sein.
Kreis:
(x-13)^2 + y^2 = 25, daraus durch implizites Differenzieren:
2*(x-13) + 2*y y’ = 0
y’ = (13 – x)/y
*************
Parabel:
y^2 = 2 p x
2*y y’ = 2p
y’ = p/y
******
Durch Gleichsetzen folgt:
P = 13 – x
°°°°°°°°°°
Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt:
y^2 = 2*(13-x)*x
Dieses eingesetzt in die Kreisgleichung:
(x-13)^2 + 2*(13-x)*x = 25
x = +-12
*******
Hier gilt nur der positive Wert.
Nun kann man den Parameter p berechnen:
P = 1
°°°°°
und aus der Parabelgleichung die y-Werte der Berührpunkte:
y = +- wurzel(24)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Berührpunkte sind also
B1 (12/+wurzel(24))
B2 (12/-wurzel(24))
*************
Vielleicht findet sich doch noch jemand,
der die Konstruktion erklärt,
sie würde auch mich interessieren!
elsa
(liebe Grüße aus Wien an megamath!)
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1988
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 21:15: |
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Hi elsa,
Meine zweite Methode und Deine neue vierte Methode
haben unsichtbare Berührungspunkte.
Ich werde oft gefragt: „ wie kommt es dass…“
bei der Polarisation einer Kegelschnittgleichung
der lineare Term x durch ½ (x+x1) zu ersetzen ist,
wenn es darum geht, die Tangente mit Berührungspunkt
P1(x1/y1) oder die Polare mit P1(x1/y1) als Pol
zu ermitteln.
Ich zeige das an unserer Parabel y ^ 2 = 2 p x
Wir stellen die Gleichung der Tangente mit P1(x1/y1)
als Berührungspunkt auf.
Die Steigung m bekommen wir durch implizites Differenzieren
2 y y ´ = 2 p
daraus m = p / y1; die Gleichung der Tangente lautet:
y – y1 = m ( x – x1) , also
y = y1 + p / y1 ( x – x1) ; bruchfrei:
y1 y = y1^2 + p x - p x1; wegen y1 ^2 = 2 p x1 folgt daraus
y1y = p( x + x1) ; genau das habe ich bei der zweiten Methode
verwendet.
Herzliche Grüsse zurück nach Wien!*
H.R.Moser,megamath
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mira (mira13)
Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 05:25: |
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herzliches Dankeschön
an megamath und elsa!
Ich habe einiges dazugelernt!
mira |
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