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Christian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 13:50: | 
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1.Wie kann ich zeigen, dass GAMMA(x+1)=x*GAMMA(x) ist??
Ich habe gelesen, dass man das mit partieller Integration macht, aber ich komme immer auf ein anderes Ergebnis.
2. Mit der Gleichung aus 1. kann man ja dann zeigen, dass GAMMA(x+1)=x! ist und somit auch Fakultäten reeller Zahlen berechnen. Meine Frage ist nun, wie ich die Werte der Gammafunktion von Hand berechnen kann(falls das überhaupt geht)
3.Dann noch eine letzte Frage;)
Wie kann man Fakultäten komplexer Zahlen berechnen??
Geht das auch mit der Gammafunktion?
MfG
C. Schmidt |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 17:09: |
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Hi Christian,
Als Vorspeise: Lösung Deiner Teilaufgbe a)
Gamma(p) =int[e^(-x)*x^(p-1) *dx],untere Grenze 0,obere Grenze unendlich;
(p positiv)
partielle Intgration: u = x ^ (p-1) , dv = e ^ ( - x )*dx führt auf :
int[e^(-x)*x^(p-1) *dx] = [-e ^(- x)* x^(p-1)] (genommen in den genannten Grenzen)
+ (p-1)*int [[e^(-x)*x^(p-2) *dx] (genommen in den genannten Grenzen).
gültig für p >1, also für p-1>0.
Wir können somit schreiben (Integrale stets mit den erwähnten Grenzen) :
int[e^(-x)*x^(p-1) dx] = (p-1) * int[e^(-x)*x^(p-2) *dx] oder
Gamma(p) =(p-1)*Gamma(p-1).
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Durch Iteration gewinnt man:
Gamma(p) =(p-1)*(p-2)*….*(p-n)*Gamma(p-n).
Da int[e^(-x)*dx] = [- e ^ (-x )] in den genannten Grenzen zum Resultat 1
führt, folgt für positives ganzzahliges n:
Gamma(p)= (p-1) !
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Es bleibt noch einiges zu sagen !
Gruss
H.R.Moser,megamath |
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