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Abstand eines Punktes zu einer Gerade...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Sonstiges » Abstand eines Punktes zu einer Geraden.DRINGEND!!! « Zurück Vor »

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vilandra (Vilandra)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 15:02:   Beitrag drucken

Ich brauche wirklich Hilfe.Hab direkt mehrere Aufgaben und weiß bei keiner 100% wie sie geht.Hoffe jemand kann mir wenigstens bei einer helfen.Also..
1)Gegeben ist P1(5/-12).Wie heißt __
Gerade,die durch P1 geht und den Abstand 0P1 vom Nullpunkt hat?
2)Abstand des Punktes zur Geraden:
g:7x+24y-100=0 P(5/10)
3)Eine Gerade gehe durch P1 und P2.Wie weit ist P3 von ihr entfernt? P1 (4/3),P2 (18/-4),P3 (5/10)

Was muss ich machen?!?
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Geradenlöser
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 03:34:   Beitrag drucken

Also, nur zur Erläuterung !
1. senkrechte Gerade auf Vektor (5/-12)
=> Skalarprodukt des Richtungsvektors mit (5/-12) muss (0/0) ergeben.
Du erhältst die Gleichung, wenn u mit u=(u1/ u2) Richtungsvektor der Geraden ist:
u1*(5)+ u2* (-12) = 0
also 5*u1 = 12*u2
Damit ist der Richtungsvektor gegeben durch beispielsweise
(12/5).
P1=(5/-12) soll auf dieser Geraden liegen. Deswegen gilt:
g: x= r * (12/5) + (5/-12) für alle r aus R.

Beachte hierbei, dass x=(x1/x2) ein Vektor ist...

2.
g: 24y = 100 -7x <=>
y= (-7/24)* x -(25/6) ( y aus R)

Alle geraden h: y=(24/7) * x + b stehen senkrecht auf g im R2( da das Produkt der Steigungen -1 ergibt !!!). Also suchst du die Gerade, die den Punkt (5/10) enthält und senkrecht auf g steht, also die Gerade h mit der Eigenschaft
10=(24/7)*5+b => b=...
Nun berechnest du den Schnittpunkt von g mit h ( setze aber zuerst b in h ein... y Werte gleichsetzen...)
Dann erhältst du den Schnittpunkt S(s1,s2). Der Betrag des Vektor (s1-5/ s2-10) ist der gesuchte Abstand ! (Betrag geht über Pythagoras !)

3.
Die Gerade erhältst du folgendermassen:
P1-P2=(-14/7)=Richtungsvektor.
P1 liegt auf der Geraden =>
t: x= n * (-14/7) + (4/3) ( n aus R)
x ist auch hier Vektor aus R2, also x=(x1/x2)
Zum Abstand noch folgendes:
Bilde analog 1. einen Vektor, der senkrecht auf diese Gerade steht.
Nun beschreibst du die Menge der senkrechten Geraden durch:
B: x = r * (dein senkr. Vektor) + (z1/z2) (r aus R)
Dann soll diese Gerade P3 enthalten, also gilt
(5/10) = r * ( dein senkr. Vektor) + (z1/z2)
Löse nach (z1/z2) auf und setze beispielsweise r=1. Dann erhältst du min einen Wert für (z1/z2).
(mehr als einen brauchst du nicht !!!)
setze dieses (z1/z2) in B ein. Du erhältst eine Geradengleichung einer Geraden, die den Punkt (5/10) enthält und senkrecht auf t steht.
Berechne den Schnittpunkt zwischen der eindeutigen Geraden B(z) (in B die, wo du z ersetzt hast ) mit t !!!
Berechne den Betrag des Differenzvektors des Schnittpunktes zu dem gegebenen Punkt. Fertig.


[Sorry ! Falls die andere Lösung noch irgendwo rumschwirrt, die war falsch... Diese Version hier müsste so stimmen !!! Nix Kreuzprodukt !]

MfG
Geradenlöser

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