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Ableitung von arctan und arccos

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doom4
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 21:19:   Beitrag drucken

wir haben die aufgabe artan und arccos abzuleiten wie geht das
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ableiter
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 02:16:   Beitrag drucken

Also, laut meinem Buch gilt:
Ableitung von artan(x) ist [1/(1+x^2)]
Ableitung von arccos(x) ist (-1)/Wurzelaus(1-x^2).
Arkussinus und Kosinus sind an der Stelle x=+-1 nicht differenzierbar.

Herleitung zur Ableitung zum arcsin(x) ist beispielsweise:
Es gilt:
Es sei f(x)=sin(x)=y
=> f^[-1](y)=arcsin(y) (f^[-1] ist Umkehrfunktion)Dann ist {f^[-1](y)}´=1/f´(x) und
f´(x)=-cos(x) (als Abl. des Sinus), also ist
{f^[-1](y)}´=1/-cos(x);
Da sin(x)=y und sin^2(x)+cos^2(x)=1 =>
y^2+cos^2(x)=1 => cos(x)=Wurzelaus(1-y^2)
Also ist
die Ableitung des arcsin(x)=1/Wurzelaus(1-x^2).
(eigentlich wären vorhin beim Wurzelziehen noch Fallunterscheidungen zu machen gewesen ...)
Dies ergibt sich, in dem du das y durch das x ersetzt.
Also ist die allgemeine Strategie:
benutze die bekannte Ableitung. Benutze die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion...
Ersetze rechts solange es notwindig ist das "funktionsabhängige" x durch einen Ausdruck von y...
Dann kannst du y durch x ersetzen und hast die Formel gefunden...
Etwas komplex, mit Differentialquotienten wäre es vielleicht einfacher gewesen...
Alles klar ?
Habe dir extra den Weg für eine andere Formel gezeigt, denn das sollte man verstehen, dafür muß man es aber mindestens einmal selbstständig gemacht haben.
Grüsse

PS: Ableitung des tan erhältst du durch tan=sin/cos => Ableitungsregel für "Quotientfunktionen"....
Über diese Ableitung erhältst du dann völlig analog die Formel für den artan...
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doom4
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 18:49:   Beitrag drucken

DANKE!!! KNUFFEL

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