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Tanja
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 13:19: | 
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Hallo! Ich schreibe nächste Woche meine Matheklausur, und da unser Mathelehrer nicht in der Lage ist, uns die Sachen vernnftig zu erklären, hätte ich da ein paar Aufgaben, mit denen ich nicht so ganz klar komme ...
1) Beweise mit Hilfe von Vektoren
a) Wenn sich in einem Trapez die Diagonalen halbieren, so ist es ein Parallelogramm.
b) In jeden Trapez ist die Mittellinie parallel zu den Grundseiten und halb so lang wie deren Summe
2) Gegeben sind: ->a =(3 2), ->b =(-1 1),
->c =(-4 0), ->d =(-1 -2)
Gesucht ist der Vektor
->x = ->a + 2->b - ->c + 3->d
(ich weiss überhaupt nicht, wie das geht ...)
3) In einem Quader ABCDEFGH teile I die Raumdia-gonale AG im Verhältnis 2:1. Die Gerade durch B und I durchstoße die Deckfläche in K. Was lässt sich über die lage des Punktes K aussagen, und in welchem Verhältnis teilt I die Strecke BK?
schonmal danke ...
ich wäre SEEEEHR dankbar, wenn meine Fragen bis Montag Abend beantwortet werden könnten ... |
reinhard
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 19:08: |
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Hallo Tanja!
1)a) in eben dem Trapez ABCD ist die Seite AB der Vektor a, die Seite AD der Vektor b und die Seite DC (richtung beachten - von D nach C) der Vektor c.
Die Diagonale von A nach C ist dann (b+c) und die halbe Diagonale entsprechend (b+c)/2.
Die Diagonale von B nach C ist a-b und die halbe Diagonale ist (a-b)/2.
Wenn sich die beiden Diagonalen halbieren, müssen diese beiden Diagonalenmittelpunkte zusammenfallen, also kann man schreiben:
(b+c)/2 = b+(a-b)/2
b+c = 2b+a-b
b+c=b+a
c=a
Das Heißt die Seiten AB und DC sind parallel und gleich lange, also ist die Figur ein Parallel.
b)
Gleiche Bezeichnung des Trapezes wie in a)
Die Mittelparallele geht vom Mittelpunkt der Seite AD zum Mittelpunkt der Seite BC.
Nun brauchen wir eine Darstellung der Seite BC mit Hilfe der Vektoren a,b und c.
Um von A nach C zu gelangen, kannst du das entweder über b+c oder über a+BC tun, also
b+c=a+BC
b+c-a=BC
Vom Punkt A kommst du über b/2 zum Mittelpunkt von AD und über a + (b+c-a)/2 zum Mittelpunkt von BC.
Also ist die Mittelparallele a+(b+c-a)/2 - b/2 =
(2a+b+c-a-b)/2 = (a+c)/2.
Da a und c parallel sind, ist a+c genausolange wie die Summe der Längen von a und c, und die Mittelparallele ist nur halb so lange.
2)x = a + 2b - c + 3d
und jetzt für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzen:
x = (3/2) + 2(-1/1) - (-4/0) + 3(-1/-2)
einen Vektor multiplizierst du, indem du jede Komponente multiplizierst:
x= (3/2) + (-2/2) - (-4/0) + (-3/-6)
Vektoren addierst du auch komponentenweise:
x=(3-2+4-3/2+2-6) = (2/-2)
3) nachdem du eine Skizze gemacht hast, erkennst du wahrscheinlich bald, daß sich das ganze in der Ebene ABGH abspielt, also kann K nicht irgendwo auf der Deckfläche liegen, sondern muß auf der Seite GH liegen.
Die Dreiecke ABI und IGH sind übrigens ähnlich:
AB und GH sind parallel, also sind der Winkel zwischen AB und AG und der Winkel zwischen AG und GH parallelwinkel und deshalb gleich. Ebenso sind der Winkel zwischen AI und IB und der Winkel zwischen KI und IG gleich (ich weiß momentan den Namen dieser Winkel nicht). Und wenn 2 Winkel übereinstimmen, stimmt der 3. auch überein.
In ähnlichen Dreiecken verhalten sich die Seiten gleich. Also verhälst sich AI zu IG wie AB zu GK
Da AI:IG laut Angabe 2:1 ist, ist AB doppelt so lange wie GK. K halbiert also die Seite GH.
Hoffe die Erklärung zu 3) war nicht zu unverständlich.
Reinhard |
Tanja
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 16:32: |
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DANKEDANKEDANKE!!!
ich glaube ohne das hier hätte ich gar keinen plan von irgendwas und wüde die arbeit total in den sand setzen ...
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