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Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 16:42: | 
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Hallo!
Ich komme mit einer Aufgabe nicht zurecht,wo neben der Aufgabe allerdings eine Zeichnung abgebildet ist.Abgebildet ist ein Dreieck mit den Punkten R,P,Q und M sowie 2 Vektoren a und b.
Die Aufgabe lautet:Stelle folgende Vektoren durch
a und b dar:PQ,QP,RM und MQ.(Es sind keine Koordinaten angegeben und der Punkt M bildet die hälfte der Strecke PQ) |
reinhard
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 17:19: |
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Hallo
Die Skizze dürfte also ungefähr so aussehen (wenn ich a und b vertauscht habe, dann a und b auch in den folgenden Rechnungen vertauschen)
wenn du Vektoren addierst, kannsu du dir das grafisch so vorstellen, daß du einen Vektor an der Spitze des anderen beginnen läßt, so bekommst du dann einen kleinen Weg, und die direkte Verbindung ist dann die Summe.
Wenn du also hier von R nach Q gehst (= der Vektor a) und dann von Q nach P gehst (= die Strecke QP), bist du in Summe von R nach P gegangen (=der Vektor b)
Also: a + QP = b
QP = b-a
eine Strecke haben wir fertig.
Wenn du umgekehrt zuerst von R nach P (=b), dann von P nach Q (= PQ) gehst, bist du in Summe von R nach Q gegangen (=a)
b+PQ = a
PQ = a-b
MQ ist genau die Halbe Strecke von PQ, also:
2MQ = PQ
MQ = PQ/2 = (a-b)/2
Es gibt einen Satz (werdet ihr schon gelernt haben), daß die Strecke AB dasslebe ist wie -BA, ein Minus ändert also die Richtung der Strecke.
Wenn MQ also (a-b)/2 ist, dann ist QM (b-a)/2.
Um nämlich von R nach M zu kommen, mußt du zuerst von R nach Q (=a) und dann von Q nach M (=QM)
also:
RM = a + (b-a)/2 = (2a+b-a)/2 = (a+b)/2
Reinhard |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 19:57: |
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Die Skizze stimmt leider noch nicht ganz.An der
Dreieckspitze steht R,links unten P und rechts unten Q.An den Seiten ist links der Vektor a und rechts der Vektor b.Der Punkt M ist als Vektorpfeil gezeichnet(von R nach M und befindet sich somit zwischen P und Q). Wäre nett,wenn du dir diese Zeichnung einmal veranschaulichst und guckst,ob sich etwas an der Überlegung geändert hat.(Z.b. durch den Vektorpfeil) |
reinhard
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 20:30: |
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Hallo!
An der Überlegung hat sich natürlich garnichts geänderst, wie ich bei der Nachricht eingangs schon erwähnt habe. Das einzige, was sich ändern hätte können, wären die Namen der Vektoren, also daß der Vektor von R nach P nicht a, sondern b geheißen hätte oder umgekehrt. Aber ich habe die Bezeichnung ziemlich gut erraten.
Und ob bei der Skizze das R oben auf der Spize oder links unten liegt, ist egal. Wichtig war in diesem Fall nur, daß die beiden Vektoren a und b von R wegzeigten und daß a nach P und b nach Q zeigten.
Reinhard |
Bianca
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 15:46: |
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Hallo Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe! Betrachten sie in Raum R³ die Punkte Ax(-x,-8,1)Bx(4,-4,2x)und C(0,-8,4). Die Ebene die durch diese Punkte geht sei Ex. Geben sie A1 und B1 an und weisen sie nach, daß die Vektoren CA1 und CB1 linear unabhängig sind. Zeigen sie dann daß die Vektoren CAx und CBx für jedes beliebige x Element von R linear unabhängig sind. Ich habe zunächst die Vektoren CAx =(-x,0,-3)und CBx=(-x-4,4,1-2x) berechnet. Die beiden Vektoren habe ich in eine Spalten Matrix gesetzt I: -x + (-x-4)
II: 0 + 4
III:-3 + (1-2x) wäre es möglich die erste und dritte Gleichung durch x zu dividieren? A1 und B1 unterscheiden sich doch nicht von Ax und Bx oder wenn ja worin? Vielen Dank Bianca |
Bianca
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 15:58: |
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Jetzt wo ich fertig bin scheint mir noch eine andere Lösung möglich. wenn ich 4 aus II als b = 0 betrachte und 0 in III für (1-2x) einsetze ergiebt sich a=-3=0 und demnach sind a = b = 0 also linear unabhängig. oder ? Mir ist aber immer noch nicht der Nachweis für alle beliebigen x klar(s.oben) Bianca |
Bianca
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 17:39: |
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Noch eine Aufgabe die mit der oberen zusammenhängt. Ich soll die Punkte Ax,Bx und C als Vektoren betrachten und angeben für welche x die drei Vektoren linear abhängig sind. Ich habe das Gleichungssystem aufgestellt. für alle x die das Gleichungssystem nicht erfüllen sind die Vektoren linear abhängig, oder? Bianca |
reinhard
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 17:47: |
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Hallo Bianca!
Erstmal ein kleiner Fehler: du hast geschrieben CBx = (-x-4,4,1-2x). Das ist leider falsch, dieser Vektor ist AxBx. CBx ist nämllich (4,4,2x-4) oder gekürzt (was man darf) CBx=(2,2,x-2)
Ax=(-x,-8,1) und A1 ist also (-1,-8,1) und deshalb ist CA1=(-1,0,-3) und CB1=(2,2,1). Und diese 2 Vektoren sind nicht linear unabhängig, denn wären sie es, dann müßte einer der beiden das vielfache des anderen sein, aber an der 2. Komponente kann man sehen, daß 2 niemals das vielfache von 0 sein kann.
Zu zeigen, daß CAx=(-x,0,-3) und CBx=(2,2,x-1) für alle x linear unabhängig sind, ist nicht schwer, weil genau dieselbe Argumentation vie bei CA1 und CB1 angewandt werden können:
Wäre diese 2 Vektoren linear unabhängig, müßte der eine das vielfache des anderen sein und 2 kann nicht das vielfache von 0 sein.
Dein Lösungsansatz über Matrizen ist der Formal korrekte und muß auch angewandt werden, wenn mehr als 2 Vektoren auf lineare Abhängigkeit zu überprüfen sind. Aber bei 2 Vektoren geht das ganze eben ein bißchen einfacher.
Reinhard |
reinhard
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 17:51: |
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Hallo Bianca!
Nachdem du das Gleichungssystem
a*Ax + b*Bx + c*C = 0
gelöst hast, kannst du sagen:
für alle x, wo es keine Lösung außer a=b=c=0 gibt, sind die 3 Vektoren linear unabhängig, sonst abhängig.
Wenn du also x hast, wo das Gleichungssystem keine Lösung hat, dann kann nur die Trivial-Lösung a=b=c=0 gelten, also sind die 3 Vektoren für diese x linear unabhängig.
Reinhard |
Bianca
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 17:15: |
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Hallo Reinhard! Vielen Dank erst mal für Deine Hilfe ich kam beim Nachrechnen sehr gut zurecht. Jetzt habe ich ein Problem mit folgendem Gleichungssystem. Dieses soll mir die Berechnung einer Schnittgerade ermöglichen zwischen der Ebene E3 und E-2 für die selben Koordinaten Ax, Bx, C wie in den anderen Aufgaben
Mein Gleichungssysthem sieht nach berrechnung der Ebenen und unstellen so aus
I 2 + 1 -2 +7 = 5
II 0 0 -4 +4 = 0
III 0 + 3 +8 +5 = 0
Ich kann es einfach nicht lösen immer wieder haut irgendwas nicht hin. Ich war schon bis x3,x4 =0 Aber die Geradengleichung kam dabei nicht heraus. Gibt es noch einen anderen weg oder wie löse ich dieses System. Gruß Bianca |
reinhard
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 19:51: |
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Hallo Bianca!
Ehrlich gesagt, ich kann nicht ganz nachvollziehen, wie du auf dieses Gleichungssystem kommst. Also werde ich einfachmal vorrechnen, wie ich das ganze angehen würde.
Als Punkt der Ebene nehme ich C und die zwei Richtungsvektoren sind CA2=(-2/0/-3) und CB2=(4/4/0), also ist die Ebene E2: X = (0/-8/4) + r(-2/0/-3) + s(4/4/0)
Als Punkt der Ebene E3 nehme ich wieder C und die zwei Richtungsvektoren sind CA3=(-3/0/-3) und CB3=(4/4/2).
E3: (0/-8/4) + t(-3/0/-3) + u(4/4/2)
Schneiden ist immer gleichbedeutend mit Gleichsetzen, also:
E2 = E3
(0/-8/4)+r(-2/0/-3)+s(4/4/0)=(0/-8/4)+t(-3/0/-3)+u(4/4/2)
Diese Gleichung komponentenweise zerlegt ergibt
I -2r + 4s = -3t + 4u
II -8 + 4s = -8 + 4u
III 4 - 3r = 4 - 3t + 2u
Wir haben 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Lösbar ist aber nur 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, also betrachten wir u als Konstante:
aus der Gleichung II kennt man: s=u und dieses in I eingesetzt:
I -2r = -3t
III 3r = 3t - 2u
I+III r = -2u
dieses in I eingesetzt:
I 4u = -3t
t= -4u/3
Das Ergebnis: r = -2u
s = u
t = -4u/3
Setzte also entweder t in E3 oder r und s in E2 ein:
E2 geschnitten E3: X = (0/-8/4) -2u(-2/0/-3) + u(4/4/0) =
X = (0/-8/4) + u(8/4/6)
und das ist deine Schnittgerade.
Hoffe, der Rechengang war verständlich, denn offensichtlich habt ihr Ebenen auf eine andere Art geschnitten. Dies hier war, wie ich es gelernt habe. Wenn du aber willst, beschreibe nur mit ein paar Stichworten, wie ihr es sonst macht und ich kann dann versuchen, eure Methode zu erklären.
Reinhard |
Bianca
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. März, 2000 - 11:17: |
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Hallo Reinhard mein Gleichungssystem war tatsächlich falsch. Ich habe ein paar Schreibfehler gemacht. Der Rechenweg den wir benutzen ist im Prinzip so wie Deiner. Ich muß mich wohl einfach nur etwas mehr konzentrieren. Vielen Dank nochmal Bianca |
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